一个整数的欧拉函数与其自身之比有没有下界

mathematica

在1到n中, 与整数n互质的整数的个数用欧拉函数来形容,那么
phi(n)与n的比值,是否有下界呢?
我只知道0肯定是下界,但是有没有比0还大的下界呢?

计算前100万个整数的欧拉函数与自身的比值,然后从小到大排序

1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
2. aa=Sort[{EulerPhi[#]/#,#}&/@Range[10^6],#1[[1]]<#2[[1]]&];;
   
3. bb=aa[[1;;4]]
   

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取前四个结果
{{3072/17017, 510510}, {3456/19019, 570570}, {384/2093, 690690}, {768/
  4147, 870870}}
分解质因数得到
FactorInteger@{510510, 570570, 690690, 870870}
{{{2, 1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {17, 1}}, {{2,
   1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {19, 1}}, {{2,
   1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {23, 1}}, {{2,
   1}, {3, 1}, {5, 1}, {7, 1}, {11, 1}, {13, 1}, {29, 1}}}
我猜测,是连续素数的乘积时,这种情况下比值最小

mathematica

应该是n充分大的情况下是连续素数乘积时,
这种情况比值最小了,
但是有没有比0更大的下界呢?
或者说
(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)(1-1/7)是否有比零大的下界呢?

mathe

下界就是0，在整数为前n个素数乘积时比例最小，这个比例可以趋向0.
这是因为$\prod_{所有素数p} (1-1/p)$为0

mathematica

mathe 发表于 2019-3-15 16:19
下界就是0，在整数为前n个素数乘积时比例最小，这个比例可以趋向0.
这是因为$\prod_{所有素数p} (1-1/p)$ ...

你是取对数,然后因为素数的倒数和无穷大,所以下界是零?

mathematica

mathe 发表于 2019-3-15 16:19
下界就是0，在整数为前n个素数乘积时比例最小，这个比例可以趋向0.
这是因为$\prod_{所有素数p} (1-1/p)$ ...

还是有下界的,只不过是变量下界,但是比常数0强一万倍

$\phi(n)>\frac{n}{e^{\gamma } \log (\log (n))+\frac{3}{\log (\log (n))}},n>2$


https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function

mathe

这个我们通常不称之为下界，0已经是下确界了。这个应该说是渐进式更合适