活跃论坛气氛，出两个小学题

倪举鹏

Expand[\!\(
\*UnderoverscriptBox[\(\[Sum]\), \(n =
    1\), \(5\)]\(\((x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 +
     x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15)\)^n\)\)]                               60

nyy

1. (*活跃论坛气氛，出两个小学题 https://bbs.emath.ac.cn/thread-15846-1-1.html (出处: 数学研发论坛) *)
   
2. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
3. aa=Table[Coefficient[(x+x^2+x^3)^k,x,15],{k,5,15}](*求出5到15次方的x^15的系数*)
   
4. bb=Total@aa(*求和*)
   

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第一小问：
输出结果
{1, 50, 357, 1016, 1554, 1452, 880, 352, 91, 14, 1}
求和得
5768

方法见
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 15846&pid=79384

nyy

第二个问题：

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. aa=Sum[x^k,{k,3,15}](*求和*)
   
3. bb=Table[Coefficient[aa^k,x,15],{k,0,15}](*各种情况的x^15的系数*)
   
4. cc=Total@bb(*求和*)
   

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输出结果
\[x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3\]
各个多项式的x^15的系数
{0, 1, 10, 28, 20, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}
系数求和=
60

所以一共60种情况！

nyy

第二个问题，我来穷举一下

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. aa=Tuples[Range[3,15],5];(*每天吃的是3到15,最多也就是吃5天*)
   
3. bb=Accumulate[#]&/@aa;(*累计求和,对于每一项*)
   
4. cc=((If[#>15,0,#]&)/@#)&/@bb;(*对于行里的元素,如果大于15就弄成零,否则不变*)
   
5. dd=Union@cc(*去掉重复的*)
   
6. ee=Select[dd,MemberQ[#,15]&](*选择包含15的*)
   

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输出结果
{{3, 6, 9, 12, 15}, {3, 6, 9, 15, 0}, {3, 6, 10, 15, 0}, {3, 6, 11,
  15, 0}, {3, 6, 12, 15, 0}, {3, 6, 15, 0, 0}, {3, 7, 10, 15, 0}, {3,
  7, 11, 15, 0}, {3, 7, 12, 15, 0}, {3, 7, 15, 0, 0}, {3, 8, 11, 15,
  0}, {3, 8, 12, 15, 0}, {3, 8, 15, 0, 0}, {3, 9, 12, 15, 0}, {3, 9,
  15, 0, 0}, {3, 10, 15, 0, 0}, {3, 11, 15, 0, 0}, {3, 12, 15, 0,
  0}, {3, 15, 0, 0, 0}, {4, 7, 10, 15, 0}, {4, 7, 11, 15, 0}, {4, 7,
  12, 15, 0}, {4, 7, 15, 0, 0}, {4, 8, 11, 15, 0}, {4, 8, 12, 15,
  0}, {4, 8, 15, 0, 0}, {4, 9, 12, 15, 0}, {4, 9, 15, 0, 0}, {4, 10,
  15, 0, 0}, {4, 11, 15, 0, 0}, {4, 12, 15, 0, 0}, {4, 15, 0, 0,
  0}, {5, 8, 11, 15, 0}, {5, 8, 12, 15, 0}, {5, 8, 15, 0, 0}, {5, 9,
  12, 15, 0}, {5, 9, 15, 0, 0}, {5, 10, 15, 0, 0}, {5, 11, 15, 0,
  0}, {5, 12, 15, 0, 0}, {5, 15, 0, 0, 0}, {6, 9, 12, 15, 0}, {6, 9,
  15, 0, 0}, {6, 10, 15, 0, 0}, {6, 11, 15, 0, 0}, {6, 12, 15, 0,
  0}, {6, 15, 0, 0, 0}, {7, 10, 15, 0, 0}, {7, 11, 15, 0, 0}, {7, 12,
  15, 0, 0}, {7, 15, 0, 0, 0}, {8, 11, 15, 0, 0}, {8, 12, 15, 0,
  0}, {8, 15, 0, 0, 0}, {9, 12, 15, 0, 0}, {9, 15, 0, 0, 0}, {10, 15,
  0, 0, 0}, {11, 15, 0, 0, 0}, {12, 15, 0, 0, 0}, {15, 0, 0, 0, 0}}

总共60种情况

nyy

我来系统地总结一下：

对于第一个提问：
假设香蕉k天吃完，
第一天吃\(x^1+x^2+x^3\)中的一种，
第二天吃\(x^1+x^2+x^3\)中的一种，
.....
第k天吃\(x^1+x^2+x^3\)中的一种。
那么总共吃\((x^1+x^2+x^3)^k\)种，但是有15根香蕉，所以取x^15的系数。k的变化情况从1到20（这个范围足够大，足以覆盖所有情况），
对每一种k求和，就得到了所有的情况。

wayne的回答。f(n)表示吃n只香蕉的情况(是x^n的系数)，一个多项式*(x+x^2+x^3)，要求x^n的系数，也就是求x^(n-3)、x^(n-2)、x^(n-1)的系数，再相加。
因此f(n)=f(n-3)+f(n-2)+f(n-1)

代码为：

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*第一列表示天数,第二列表示种类数*)
   
3. aa=Table[{k,Coefficient[(x^1+x^2+x^3)^k,x,15]},{k,1,20}](*至少1天吃完,最多20天.*)
   
4. Grid[aa,Alignment->Left](*列表显示*)
   
5. bb=Total[aa[[All,2]]](*对第二列求和*)
   

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求解结果
\[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
2 & 0 \\
3 & 0 \\
4 & 0 \\
5 & 1 \\
6 & 50 \\
7 & 357 \\
8 & 1016 \\
9 & 1554 \\
10 & 1452 \\
11 & 880 \\
12 & 352 \\
13 & 91 \\
14 & 14 \\
15 & 1 \\
16 & 0 \\
17 & 0 \\
18 & 0 \\
19 & 0 \\
20 & 0 \\
\end{array}\]

对第二列求和，得到5768。
第二问与第一问类似，不再解。

nyy

小学奥数:有 m 级楼梯，每次可上1级、2级或3级，有几种走法？
https://bbs.emath.ac.cn/thread-9480-1-1.html
(出处: 数学研发论坛)

爬楼梯问题
https://bbs.emath.ac.cn/thread-4937-1-1.html
(出处: 数学研发论坛)

已知 x+y+z=1 ，x^2+y^2+z^2=2 ，x^3+y^3+z^3=5 ，求 x^5+y^5+z^5
https://bbs.emath.ac.cn/thread-17049-1-1.html
(出处: 数学研发论坛)



类似的问题在这里！

nyy

把问题改一改：
猴子吃香蕉问题
香蕉共30根，
星期一、星期三、星期五、星期七，猴子吃奇数根香蕉（吃的香蕉根数>0）,
星期二、星期四、星期六,               猴子吃偶数根香蕉（吃的香蕉根数>0）,
问：总共有多少种吃法？

nyy

nyy 发表于 2024-1-5 12:12
把问题改一改：
猴子吃香蕉问题
香蕉共30根，

放上我对这个问题的回答：

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. xx=Sum[x^k,{k,1,30,2}](*星期1、3、5、7吃的香蕉模式*)
   
3. yy=Sum[x^k,{k,2,30,2}](*星期2、4、6吃的香蕉模式*)
   
4. aa=Table[{2k+1,Coefficient[xx^(k+1)*yy^k,x,30]},{k,0,3,1}](*奇数天吃完香蕉*)
   
5. bb=Table[{2k,  Coefficient[xx^k    *yy^k,x,30]},{k,1,3,1}](*偶数天吃完香蕉*)
   
6. cc=Total[aa[[All,2]]]+Total[bb[[All,2]]](*奇数情况+偶数情况*)
   

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求解结果

x + x^3 + x^5 + x^7 + x^9 + x^11 + x^13 + x^15 + x^17 + x^19 + x^21 + \
x^23 + x^25 + x^27 + x^29

x^2 + x^4 + x^6 + x^8 + x^10 + x^12 + x^14 + x^16 + x^18 + x^20 + \
x^22 + x^24 + x^26 + x^28 + x^30

奇数天情况
{{1, 0}, {3, 105}, {5, 0}, {7, 8008}}
偶数天情况
{{2, 0}, {4, 455}, {6, 0}}
求和
8568

所以一共8568种情况！