超级难的级数收敛问题

Thornton

$S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k,\sigma_n=\sum_{k=1}^{n}{S_k}/(n+1) $ 对于某个大于0的$alpha$我们有 $\sum_{n=1}^{\infty}{|S_n-sigma_n|^alpha}$收敛 那么有级数 ${a_n}$收敛了 (昨天我写了个“二次积分交换”的题目，这个是非常难的数学分析问题，题目中的函数是有界的，不是连续的，请看清题目，mathe说的方法是在函数是二元连续函数是才能使用的，不相信的话随便找本书看就明白了，一般的情况下根本不能用，我对于被看成笨蛋这个感到无语)

gxqcn

大家讨论问题，不要进行人身攻击。 我看过你的帖子，没人对你说三道四的； 也许没有仔细看你的题目，不知关键所在， 误以为是个非常浅显的结论， 即便如此，有人肯回复毕竟是件好事， 大家可以将问题进一步讨论下去。

shshsh_0510

楼主看来对陶伯理论比较有研究，这两个题目都是这种味道的 没人将你看做笨蛋呀。一个困难问题，要讨论首先要弄明白问题的难点在哪，否则大家云山雾罩，你说你的，我说我的，那就不叫讨论了。 你原来的那个问题，我就是一眼看去，由于水平问题，根本没看出来哪困难，所以才问你的。 楼主要对自己的知识有自信，不要认为别人对你熟悉领域的基础知识都很熟悉。

mathe

引理1: h个正项级数${a_n^{(t)}},1<=t<=h$都收敛,那么级数${root{h}{\prod_{t=1}^ha_n^{(t)}}}$也收敛 这个使用平均不等式容易证明

mathe

引理2: 级数${|d_n|^a}$收敛,那么级数${\frac{d_n}{n}}$绝对收敛. 这个使用引理1就可以证明

mathe

然后题目中记$d_n=S_n-\sigma_n$ 可以解得$S_n=a_1+\sum_{k=2}^{n-1}{d_k}/k+{n+1}/n*d_n$ 利用引理2就可以得出结论