各位好友这个级数怎么解

笨笨

各位好友这个级数怎么解 \[\lim_{n\to \infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left(\frac{k}{n}\right)^n}}\]

mathe

证明
$(1-h/n)^h e^{-h}<(1-h/n)^n<e^{-h}$

.·.·.

Mathematica告诉我
$\sum _{k=1}^n \left(\frac{k}{n}\right)^n=\left(\frac{1}{n}\right)^n H_n^{(-n)}$
看看Mathematica做的事情……
先把n^-n提出来
然后我们要求的只剩下$1^n++2^n+...+n^n$
Stolz定理可以轻松求出\[1^1+2^2+...+n^n\over n^n\]的极限是$1$
又可以猜出\[1^{i+1}+2^{i+2}+...+(n-i)^{i+n-i}\over n^n\]的极限是$e^{-i}$
我于是可以很不严谨地猜到\[1^n++2^n+...+n^n\over n^n\]的极限是$\frac{e}{e-1}$
至于具体过程不要问我
就连大一用来做作业的Mathematica都给不出答案
我就更不会了……

数学星空

https://bbs.emath.ac.cn/thread-14589-1-1.html

王守恩

\(\D\frac{1+2^{5}+3^{5}+\cdots+5^{5}}{5^{5}}=\frac{3.403846}{2.403846}\)

\(\D\frac{1+2^{6}+3^{6}+\cdots+6^{6}}{6^{6}}=\frac{3.274238}{2.274238}\)

\(\D\frac{1+2^{7}+3^{7}+\cdots+7^{7}}{7^{7}}=\frac{3.185850}{2.185850}\)

\(\D\frac{1+2^{8}+3^{8}+\cdots+8^{8}}{8^{8}}=\frac{3.121712}{2.121712}\)

\(\D\frac{1+2^{9}+3^{9}+\cdots+9^{9}}{9^{9}}=\frac{3.073048}{2.073048}\)

\(\D\cdots\cdots\)

\(\D\frac{1+2^{n}+3^{n}+\cdots+n^{n}}{n^{n}}=\frac{e}{e-1}\)

mathe

由$log (1+x)<x$,所以$log(1+x/(1-x))<x/(1+x)$,既$log(1-x)>-x/(1-x)$
$x=-h/n$代入第一式得$(1-h/n)^n<exp(-h),x=h/n$代入第二式可得$(1-h/n)^(n-h)>exp(-h)$.
原式做替换k=n-h,代入然后使用这两个不等式两边夹即可 ，在n趋向无穷时可得结果。

dlpg070

有关级数求和取极限的有趣的问题,
将学习心得汇报 :
我试着进行了问题的扩展
原式扩展 m = 0, 1, 2, ...
原式扩展 = \(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{k=1}^{m+n} \left(\frac{k}{n}\right)^n\right)\)
            =\(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{h=-m}^{n-1} \left(1 - \frac{h}{n}\right)^n\right)\)
           = \(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{h=-m}^{n-1} \left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(1-\frac{h}{n}\right)^n\right)\right)\)
           = e^(m+1)/(e-1)

代码 :只有3行,显示不理想,放弃,只给出结果

1. m=        0         极限:        E/(-1+E)         =        1.5819767       
   
2. 
   
3. m=        1         极限:        E^2/(-1+E)         =        4.3002585       
   
4. 
   
5. m=        2         极限:        E^3/(-1+E)         =        11.689315       
   
6. 
   
7. m=        3         极限:        E^4/(-1+E)         =        31.774852       
   
8. 
   
9. m=        4         极限:        E^5/(-1+E)         =        86.373002       
   
10. 
    
11. 
    

复制代码

dlpg070

回复:各位好友这个级数
m=0 e/(e-1) 由下向上逼近极值
m=1 e^2/(e-1) 先由上向下到小于极值,再缓慢由下向上逼近极值
扩展极值公式正确.

演示m = 0 , m = 1 极限的渐进过程
tmp.png

dlpg070

dlpg070 发表于 2019-6-27 17:27
有关级数求和取极限的有趣的问题,
将学习心得汇报 :
我试着进行了问题的扩展

代码刚刚学会mma-->论坛复制代码,样子有点丑 !  )
\(\text{fm}(\text{m$\_$})\text{:=}\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sum _{h=-m}^{n-1} \left(\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(1-\frac{h}{n}\right)^n\right)\right);\)
tm=Table[{"m=",i," 极限:",fm," =",N[fm,8],"\n"},{i,0,4}];
Grid[tm]