渐近求和问题

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若记\(1^k+2^k+3^k+\dots+k^k=a_1k^k+a_2k^{k-1}+a_3k^{k-2}+a_4k^{k-3}+a_5k^{k-4}+\dots\),请给出\(a_1,a_2，a_3，a_4\)的具体表达式？

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由\((1-\frac{k}{n}）^n \leq e^{-k}\)容易算得\(a_1=\frac{e}{e-1}\)

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由maple 软件容易算出
\(a_1=\frac{e}{e-1}\)
\(a_2=-\frac{e(e+1)}{2(e-1)^3}\)
\(a_3=-\frac{e(5e^3-9e^2-57e-11)}{24(e-1)^5}\)
\(a_4=-\frac{e(5e^5-35e^4-138e^3+502e^2+365e+21)}{48(e-1)^7}\)
\(a_5=\frac{e(2447+507627e^2+14283e^5+115961e-337e^7-205075e^4+164045e^3+5849e^6)}{5760(e-1)^9}\)

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去《在线整数数列百科大全》搜寻楼上的数列：

https://oeis.org/search?q=1%2C2%2C24%2C48%2C5760

可以找到$4$个条目，但都不是楼主想要的答案。

kastin

两边除以 `k^k` 并取极限，得\[a_1=\lim_{k\to +\infty}\left(\frac{1}{k^k}+\frac{2^k}{k^k}+\cdots+(1-\frac1k)^k+1\right)\]计算出 `a_1` 剩下系数可以逐步求得。关键是上面和式的极限值如何求。二楼给出的答案在 `n` 与 `k` 无关时才正确，但上述和的极限中，显然导致 `n` 和 `k` 相关。这一点可以从另一方面来说明：根据幂和公式可知 `1^k+2^k+3^k+\cdots+n^k=O(n^{k+1})`，这里 `n` 与 `k` 无关。若忽略这个要求，直接将 `k` 代入，岂不得到 `1^k+2^k+3^k+\cdots+k^k=O(k^{k+1})` 的结论?

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kastin 发表于 2017-12-12 14:17
两边除以 `k^k` 并取极限，得\[a_1=\lim_{k\to +\infty}\left(\frac{1}{k^k}+\frac{2^k}{k^k}+\cdots+(1-\f ...

\(1^k+2^k+\dots+k^k=\sum_{j=0}^k\frac{B_jk!k^{k+1-j}}{j!(k+1-j)!}=\sum_{j=0}^k\frac{B_j}{j!}k^k+\sum_{j=0}^k\frac{B_j(j-1)(j-2)}{2j!}k^{k-1}+O(k^{k-2})=（\frac{k}{k+1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24*30}+\dots)k^k+O(k^{k-1})\)


\(1^k+2^k+\dots+k^k=k^k\sum_{i=0}^k{e^{-i}}+O(k^{k-1})=\frac{ek^k}{e-1}+O(k^{k-1})\)

lsr314

直接对$(1-r/k)^k$展开求和即可