函数方程的解析解

mathe

wayne 发表于 2019-7-5 08:43
对于任意一个定义在$(0,+\infty)$的实函数$h(x)$，我们定义关系$h(-x) = h(x)(1-h(x))$延拓到$(-\infty,+\i ...

这个想法很好，可惜这样的实解析函数只有h(x)=0。
解析函数的一个重要特点是对部分区域成立的公式对于整个区域都成立，所以如果
$h(-x) = h(x)(1-h(x))$, 那么必然也有$h(x)=h(-x)(1-h(-x))$
于是我们得出必要条件
$(1-h(x))(1-h(-x))=1$，或者写成$(h(x)-1)h(-x)=h(x)$即$h(-x)={h(x)}/{h(x)-1}$,代入原始条件得出
$h(x)((1-h(x))^2+1)=0$

kastin

令 `h(x)=1/2-f(x)`,于是化为二次映射 `h(x+1)=h(x)^2+1/4`，这个类似的问题论坛之前讨论过，在自然数集上的 `h(x)` 结果形式为 `[c^{2^x}]`，其中 `c` 为某个大于1的无理数（当然，它需要初值来计算）。
参见http://mathworld.wolfram.com/QuadraticMap.html

根据链接中的(23)和(26)可知，在自然数集上f(x)不存封闭形式的解，这是否说明在实数上也不存在？

mathe

现在我们还无法知道这个解析函数非平凡解的存在性。
但是如果存在这样的解析函数，那么必然会存在一系列完全不同的满足条件的解析函数，因为
如果解析函数f(x)满足f(x+1)=f(x)(1-f(x)),那么任意选择周期为1的解析函数g(x),于是定义函数
h(x)=f(x+g(x)),那么必然有
h(x+1)=f(x+1+g(x+1))=f(x+1+g(x))=f(x+g(x))(1-f(x+g(x)))=h(x)(1-h(x))
由于周期为1的g(x)实在太多了，这充分说明了我们无法仅利用这么简单的一个递推式来确定这个解析函数。

kastin

上面的分析已经承认了满足条件的函数f(x)的存在，于是可以推出h(x)=f(x+g(x))也满足条件，但是反过来不一定成立。比如是否始终存在一个函数j(x)和周期为1的函数g(x)，使得f(x)=j(x+g(x))，且j(x)满足题目条件？如果始终存在，那么不管多少个有限的初始值都没法确定该函数，如果不是始终存在，那么一定可以找到一个满足条件的基本函数f(x)不再能被h(x)那种定义方式来分解，且给定初始值就能确定它。

mathe

由于解析函数局部特性可以确定全局。所以给定f和g,定义f(x)=j(x+g(x)),
那么对于任意一个点$x_0$使得$g'(x_0)!=-1$，必然有$x+g(x)$在$x_0$局部的逆函数是存在的而且也是解析的
所以由此j在$x_0$的领域可以被定义，于是这个解析函数被唯一确定。
只是正常情况，如果函数$x^2$的逆函数$sqrt(x)$会有两个分支，$exp(x)$的逆函数$ln(x)$会有无数个分支，这种方法定义出来的函数也会有很多分支