函数方程的解析解

kastin

函数f(x)在实数范围连续可导，有f(x+1)=f(x)*[1-f(x)],求f(x)

该题目来自网络，条件中的意思应该是实解析函数（充分光滑）。
这种类型的函数方程与传统的函数方程有点区别，因为传统的函数方程要么是二元变量，要么是表达式中会出现x的一个具体的式子，而不是上面那样纯粹是函数的运算。

经过尝试，发现有平凡解零。对于非平凡解，使用泰勒级数，收敛速度太慢，几乎要非常非常多项才能保证极为狭窄范围内自变量对应的函数值较为精确；但若使用摄动法构建渐近级数，则可以减少项数，但只能在非常有限范围内保证精度。

不知各位有什么好方法？

mathe

我们可以用g(x)=-f(x)替换，于是g(x+1)=g(x)+g(x)^2,而且容易证明g非负。
我们还可以看出g(x+1)+1/2>(g(x)+1/2)^2,g(x+1)+1<(g(x)+1)^2.
由此可以看出可以选择参数c使得g(x)接近c^(2^x),在c大于1时这种函数增加的速率也太快了，误差很大也正常

hujunhua

如果按原题只是要求在实数范围内连续可导，应可构造任意类型的解。

比如，我们任取一个在闭区间`[0,1/2]`连续、在开区间`(0,1/2)`光滑的曲线段 `f_1`, 就可由函数方程得出在区间  `[1,3/2]` 上的连续光滑曲线段`f_3`，然后任作在闭区间`[1/2,1]`上连续、在开区间(1/2,1)内光滑的曲线段 `f_2`, 只要使得`f_2(1/2)=f_1(1/2),f_2'(1/2)=f_1'(1/2),f_2(1)=f_3(1),f_2'(1)=f_3'(1)`, 然后以 1 为周期，运用函数方程向两边不断扩展曲线的范围，就能得到实数范围内符合要求的解曲线。

hujunhua

例如：在区间 `[0,1/2]` 取 `y=0`, 则区间 `[1,3/2]` 上为 `y=0`.
`y(1/2)= y(1)=0, y'(0)=y'(1/2)=y'(1)=0`.
于是在`[1/2,1]`上可取 `y=\sin^2(2\pi x)`.
然后由函数方程向两边扩展。
比如`[3/2,2]`上为`y=\sin^2(2\pi x)\cos^2(2\pi x)`

mathe

解析比连续可导的要求高，要求能够在任意点的邻域展开成泰勒级数。但是即使这样，解的唯一性也无法保证。比如f(x+1)=f(x)解是任意周期为一的解析函数，太多了

mathe

所以先需要有手段唯一确定函数才能计算

hujunhua

解析解还跟初值有关。不同的初值，可能不仅仅是导致某个常系数或者常数项的差别，也许存在一些临界值，在临界两边，有着完全不同的解。

设`h(x)=-f(x)-1`, 得函数方程\[
h(x+1)=h(x)^2-h(x)+1=k·h(x)·h(x-1)·h(x-2)·…·h(x_1)+1, (k=h(x_1)-1)
\]比如取`x_1=1,h(1)=2`, 相应的`k=1`, 得\[
h_{n+1}=h_n^2-h_n+1=h_n·h_{n-1}·h_{n-2}·…·h_2·h_1+1
\]数列`h_n`的前几项为：2,3,7,43,1807,…
是不是十分熟悉？解析函数h(x)就是h(n)的解析延拓。

hujunhua

不过有一个小问题：按函数方程用二次方程的求根公式向左扩展时，会出现两个分支。

也许不用求根公式，改用形式连分数可以避免分支？

wayne

对于任意一个定义在$(0,+\infty)$的实函数$h(x)$，我们定义关系$h(-x) = h(x)(1-h(x))$延拓到$(-\infty,+\infty)$， 于是$f(x) = h(sin(\pi x))$ 就是我们要求的函数。

mathe

@hujunhua 两个分支不是问题，函数要求非正，只有一个分支可用