关于连分数的余式问题

hejoseph

设 $D>1$，记 $\sqrt D$ 的连分数为 $[a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdots]$，以及 $r_j=[a_j,a_{j+1},\cdots]$，那么必定有 $r_j=\frac{\sqrt D+P_j}{Q_j}$，可以确定 $Q_j>0$，那么当 $j\geq 1$ 时 $P_j$ 必定是正的吗？

hejoseph

$\sqrt D$ 的第 $k$（$k\geq 1$）个渐近分数是 $p_k/q_k$，则 $P_k=(-1)^{k+1}(p_{k-1}p_{k-2}-Dq_{k-1}q_{k-2})$，$Q_k=(-1)^k(p_{k-1}^2-Dq_{k-1}^2)$，不过没找到 $P_k\leq 0$ 的例子。

lsr314

假设$sqrt(D)=[a_0,{a_1,\cdots,a_n}]$,其中{}表示循环部分,$r_1r_2\cdots r_n=x+y\sqrt(D)$，那么$x,y\in N$,且$x^2-Dy^2=±1$.

kastin

因为 `r_j=a_j+1/r_{j+1}`，故有 `P_{j+1}=a_jQ_j-P_j`，`Q_{j+1}=\D\frac{D-P_{j+1}^2}{Q_j}`.
且有 `P_1=a_0`，`Q_1=D-a_0^2 > 0`. 故等价为证明 `a_j >\frac{P_j}{Q_j}`