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[讨论] 关于连分数的余式问题

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发表于 2019-9-6 17:35:27 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 hejoseph 于 2019-9-6 17:43 编辑

设 $D>1$,记 $\sqrt D$ 的连分数为 $[a_0,a_1,\cdots,a_n,\cdots]$,以及 $r_j=[a_j,a_{j+1},\cdots]$,那么必定有 $r_j=\frac{\sqrt D+P_j}{Q_j}$,可以确定 $Q_j>0$,那么当 $j\geq 1$ 时 $P_j$ 必定是正的吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-9-9 13:46:02 | 显示全部楼层
$\sqrt D$ 的第 $k$($k\geq 1$)个渐近分数是 $p_k/q_k$,则 $P_k=(-1)^{k+1}(p_{k-1}p_{k-2}-Dq_{k-1}q_{k-2})$,$Q_k=(-1)^k(p_{k-1}^2-Dq_{k-1}^2)$,不过没找到 $P_k\leq 0$ 的例子。
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发表于 2019-9-25 17:40:23 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2019-9-25 17:41 编辑

假设$sqrt(D)=[a_0,{a_1,\cdots,a_n}]$,其中{}表示循环部分,$r_1r_2\cdots r_n=x+y\sqrt(D)$,那么$x,y\in N$,且$x^2-Dy^2=±1$.
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发表于 2019-9-26 15:16:34 | 显示全部楼层
因为 `r_j=a_j+1/r_{j+1}`,故有 `P_{j+1}=a_jQ_j-P_j`,`Q_{j+1}=\D\frac{D-P_{j+1}^2}{Q_j}`.
且有 `P_1=a_0`,`Q_1=D-a_0^2 > 0`. 故等价为证明 `a_j >\frac{P_j}{Q_j}`
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