如何证明此四次不定方程无正整数解

葡萄糖

如何证明不定方程\(\,x^4+5x^2+10x+4=y^2\,\)无正整数解.

.·.·.

当`x<10`时候逐个验算, 无解。
当`x≥10`时，左边乘以4，
`(5 + 2 x^2)^2 - 4(x^4 + 5 x^2 + 10 x + 4)=9 - 40 x<0`
`(6 + 2 x^2)^2 - 4(x^4 + 5 x^2 + 10 x + 4)=4x(x-10)+20>0`
`→ 5+2x^2<2y<6+2x^2`

mathe

竟然对于x是非正整数有四组解 x=0,x=-1,x=-3,x=-10

mathe

这个题目好像还可以用椭圆曲线的方法求有理解的分布
做替换$x={X+b}/{11b-X}, y={12bY}/{(11b-X)^2}$
代入得到$3b^2Y^2=bX^3 - 219b^3X + 1510b^4$
取b=3代入得到$(3Y)^2=X^3 - 1971X + 40770$

计算得出上面椭圆曲线有两个生成元[-21, 90], [-3, 72]
有理数解还是比较复杂的

王守恩

x<10时易验算无解。当x≥10时，有
\((x^2+2)^2<x^4+5x^2+10x+4<(x^2+3)^2\)
\(\to x^2+2<y<x^2+3\)

葡萄糖

mathe 发表于 2019-10-22 15:23
这个题目好像还可以用椭圆曲线的方法求有理解的分布
做替换$x={X+b}/{11b-X}, y={12bY}/{(11b-X)^2}$
代 ...

是这个有理数解吗？
\[ \left(-\dfrac{400}{231}\right)^4 + 5\left(-\dfrac{400}{231}\right)^2 + 10\left(-\dfrac{400}{231}\right)+ 4=\left(\dfrac{174278}{53361}\right)^2 \]
另外还有一个疑问，此有理数解可以导出整数解？

mathematica

https://bbs.emath.ac.cn/thread-9527-1-1.html
建议看看这个问题

王守恩

一般地，可以这样认为：
不定方程  \(x^4+(2a+1)x^2+bx+c=y^2\)  无正整数解.

一般地，也可以这样认为：
不定方程  \(x^{2n}+(2a+1)x^n+bx+c=y^2\)  无正整数解.