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[讨论] 如何证明此四次不定方程无正整数解

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发表于 2019-10-22 01:11:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如何证明不定方程\(\,x^4+5x^2+10x+4=y^2\,\)无正整数解.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-10-22 14:35:20 | 显示全部楼层
当`x<10`时候逐个验算, 无解。
当`x≥10`时,左边乘以4,
`(5 + 2 x^2)^2 - 4(x^4 + 5 x^2 + 10 x + 4)=9 - 40 x<0`
`(6 + 2 x^2)^2 - 4(x^4 + 5 x^2 + 10 x + 4)=4x(x-10)+20>0`
`→ 5+2x^2<2y<6+2x^2`

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参与人数 1威望 +3 金币 +4 贡献 +3 经验 +3 鲜花 +3 收起 理由
hujunhua + 3 + 4 + 3 + 3 + 3 淡定

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-10-22 15:02:28 | 显示全部楼层
竟然对于x是非正整数有四组解 x=0,x=-1,x=-3,x=-10

点评

这大概就是为什么算同余会死掉的原因了……  发表于 2019-10-22 22:40
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发表于 2019-10-22 15:23:15 | 显示全部楼层
这个题目好像还可以用椭圆曲线的方法求有理解的分布
做替换$x={X+b}/{11b-X}, y={12bY}/{(11b-X)^2}$
代入得到$3b^2Y^2=bX^3 - 219b^3X + 1510b^4$
取b=3代入得到$(3Y)^2=X^3 - 1971X + 40770$

计算得出上面椭圆曲线有两个生成元[-21, 90], [-3, 72]
有理数解还是比较复杂的
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发表于 2019-10-22 20:45:19 | 显示全部楼层
x<10时易验算无解。当x≥10时,有
\((x^2+2)^2<x^4+5x^2+10x+4<(x^2+3)^2\)
\(\to x^2+2<y<x^2+3\)

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参与人数 1威望 +3 金币 +4 贡献 +3 经验 +3 鲜花 +3 收起 理由
hujunhua + 3 + 4 + 3 + 3 + 3 淡定

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 楼主| 发表于 2019-10-23 08:20:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2019-10-23 08:21 编辑
mathe 发表于 2019-10-22 15:23
这个题目好像还可以用椭圆曲线的方法求有理解的分布
做替换$x={X+b}/{11b-X}, y={12bY}/{(11b-X)^2}$
代 ...


是这个有理数解吗?
\[ \left(-\dfrac{400}{231}\right)^4 + 5\left(-\dfrac{400}{231}\right)^2 + 10\left(-\dfrac{400}{231}\right)+ 4=\left(\dfrac{174278}{53361}\right)^2 \]
另外还有一个疑问,此有理数解可以导出整数解?

点评

理论上可以通过椭圆曲线上点加关系生成所有的有理数点  发表于 2019-10-23 16:24
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发表于 2019-10-23 13:57:33 | 显示全部楼层
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发表于 2019-11-1 20:53:12 | 显示全部楼层
一般地,可以这样认为:
不定方程  \(x^4+(2a+1)x^2+bx+c=y^2\)  无正整数解.

一般地,也可以这样认为:
不定方程  \(x^{2n}+(2a+1)x^n+bx+c=y^2\)  无正整数解.
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