正多边形和半圆

manthanein

给定一个边长为 2 的正 \(n\) 边形，以每边为直径向多边形内作半圆。求这 \(n\) 个半圆的并集（重叠部分只计算一次）的面积。

.·.·.

正三角形单独拿出来讨论
剩下的并集，全部重叠部分不重叠
也就是我们只需要算出重叠部分面积——带上三角函数这个面积不难计算
剩下的就是n*(半圆面积-两个半圆重叠部分的面积)了

思路如此，应该是对的，懒得算了

zeroieme

只考虑需要一边与正多边形中心形成的三角形被半圆“吃剩”多少。
正三角形与正方形直接被所对的多边形外边上那半圆包含，没有剩余。

markfang2050

n=3时，图1；
n=4时，图2；
n>=5时，图3；
扇形+2边三角形 sage: var('r n')     
sage:
((pi*r^2*((pi-4*pi*n)/(2*pi))+1/2*r*r*sin(2*pi/n)*2)*n).
simplify_full()   

-1/2*(4*pi*n^2 - (pi + 4*cos(pi/n)*sin(pi/n))*n)*r^2

hujunhua

不知道为什么传不了图片，总是提示Server(IO) ERROR

答案还有点意思。
取各边中点（半圆圆心）`M_1, M_2, ..., M_i, ..., M_n`，连接`M_iM_{i+2}`形成一个 n 角星。
相邻半圆的交点即这个 n 角星的凹角顶点。
将正 n 边形的中心角 `2\pi/n`记为 `\theta`, 面积即为 `n(\pi/2-\theta+\sin\theta)`

chyanog

\(\cases{\frac{1}{2} \left(2 \pi -\sqrt{3}\right)&$n=3$\cr \frac{1}{2} \left(n \pi  -4 \pi +2 n \sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right)\right)&$n>3$\cr}\)

1. Manipulate[With[{pts=CirclePoints[n]/ Sin[Pi/n]},Graphics[{
   
2. {EdgeForm[Black],Opacity[0],Polygon[pts]},
   
3. Opacity[0.2],Blue,MapIndexed[Disk[Mean@#,1,{0,Pi}+Tr@#2 2Pi/n]&,Partition[pts,2,1,1]]
   
4. },PlotRange->3]],{n,3,9,1}]
   
5. 
   
6. Table[Area[RegionUnion@@MapIndexed[Disk[N@Mean@#,1.,{0,Pi}+Tr@#2 2Pi/n]&,Partition[CirclePoints[n]/ Sin[Pi/n],2,1,1]]],{n,3,10}]
   
7. 
   
8. Table[Piecewise[{{1/2 (2 Pi-Sqrt[3]),n==3},{1/2 (Pi n-4Pi+2 n Sin[(2 Pi)/n]),n>3}}],{n,3,10}]//N
   

复制代码

manthanein

chyanog 发表于 2019-10-24 21:47
\(\cases{\frac{1}{2} \left(2 \pi -\sqrt{3}\right)&$n=3$\cr \frac{1}{2} \left(n \pi  -4 \pi +2 n \sin ...

题目原来的边长设定是a，不知道被谁改成了2，这么看来，只要拿这个面积乘a^2/4就行了？