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[讨论] 正多边形和半圆

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发表于 2019-10-23 20:06:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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给定一个边长为 2 的正 \(n\) 边形,以每边为直径向多边形内作半圆。求这 \(n\) 个半圆的并集(重叠部分只计算一次)的面积。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-10-24 08:50:23 | 显示全部楼层
正三角形单独拿出来讨论
剩下的并集,全部重叠部分不重叠
也就是我们只需要算出重叠部分面积——带上三角函数这个面积不难计算
剩下的就是n*(半圆面积-两个半圆重叠部分的面积)了

思路如此,应该是对的,懒得算了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-10-24 11:19:16 | 显示全部楼层
只考虑需要一边与正多边形中心形成的三角形被半圆“吃剩”多少。
正三角形与正方形直接被所对的多边形外边上那半圆包含,没有剩余。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-10-24 16:30:39 | 显示全部楼层
n=3时,图1;
n=4时,图2;
n>=5时,图3;
扇形+2边三角形 sage: var('r n')     
sage:
((pi*r^2*((pi-4*pi*n)/(2*pi))+1/2*r*r*sin(2*pi/n)*2)*n).
simplify_full()   

-1/2*(4*pi*n^2 - (pi + 4*cos(pi/n)*sin(pi/n))*n)*r^2

N=3

N=3

N=4

N=4

N>=5

N>=5
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发表于 2019-10-24 17:18:25 | 显示全部楼层
不知道为什么传不了图片,总是提示Server(IO) ERROR

答案还有点意思。
取各边中点(半圆圆心)`M_1, M_2, ..., M_i, ..., M_n`,连接`M_iM_{i+2}`形成一个 n 角星。
相邻半圆的交点即这个 n 角星的凹角顶点。
将正 n 边形的中心角 `2\pi/n`记为 `\theta`, 面积即为 `n(\pi/2-\theta+\sin\theta)`
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发表于 2019-10-24 21:47:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 chyanog 于 2019-10-24 22:55 编辑

\(\cases{\frac{1}{2} \left(2 \pi -\sqrt{3}\right)&$n=3$\cr \frac{1}{2} \left(n \pi  -4 \pi +2 n \sin \left(\frac{2 \pi }{n}\right)\right)&$n>3$\cr}\)

regular polygon  semicircle.gif
20191024214637.png

  1. Manipulate[With[{pts=CirclePoints[n]/ Sin[Pi/n]},Graphics[{
  2. {EdgeForm[Black],Opacity[0],Polygon[pts]},
  3. Opacity[0.2],Blue,MapIndexed[Disk[Mean@#,1,{0,Pi}+Tr@#2 2Pi/n]&,Partition[pts,2,1,1]]
  4. },PlotRange->3]],{n,3,9,1}]

  5. Table[Area[RegionUnion@@MapIndexed[Disk[N@Mean@#,1.,{0,Pi}+Tr@#2 2Pi/n]&,Partition[CirclePoints[n]/ Sin[Pi/n],2,1,1]]],{n,3,10}]

  6. Table[Piecewise[{{1/2 (2 Pi-Sqrt[3]),n==3},{1/2 (Pi n-4Pi+2 n Sin[(2 Pi)/n]),n>3}}],{n,3,10}]//N
复制代码

点评

可以使用PlotLabel  发表于 2019-10-26 10:22
Export["f:/导出的图片/曲线.gif",Table[With[{pts=CirclePoints[n]/Sin[Pi/n]},Graphics[{{EdgeForm[Black],Opacity[0],Polygon[pts]},Opacity[0.2],Blue,MapIndexed[Disk[Mean@#,1,{0,Pi}+Tr@#2 2Pi/n]&,Par   发表于 2019-10-25 21:30
动态图导出数字变化如何设置的?  发表于 2019-10-25 21:29

评分

参与人数 2威望 +3 金币 +4 贡献 +4 经验 +3 鲜花 +3 收起 理由
manthanein + 1 简洁直观
hujunhua + 3 + 4 + 3 + 3 + 3 动图漂亮、干净

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 楼主| 发表于 2019-10-25 13:55:43 | 显示全部楼层
chyanog 发表于 2019-10-24 21:47
\(\cases{\frac{1}{2} \left(2 \pi -\sqrt{3}\right)&$n=3$\cr \frac{1}{2} \left(n \pi  -4 \pi +2 n \sin ...

题目原来的边长设定是a,不知道被谁改成了2,这么看来,只要拿这个面积乘a^2/4就行了?

点评

所以设成 2 不失一般性,而更简洁!  发表于 2019-10-26 10:43
是的  发表于 2019-10-26 10:30
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