过三点的椭圆参数方程

mathe

$F$是二次函数比较好办，但是如果$F$的次数比较高时，递推$F(a_k+a_{k+1}, a_ka_{k+1})=0$该如何定义？这时会出现有太多选择的问题。

数学星空

类似5#的定义:
\(F(u,v)=\sum_{k=0}^n c_k u^kv^{n-k}\)

creasson

可以通过选取函数$g$构造$u,v$的关系：$\frac{d s}{d u}=g(u),\frac{d s}{d v}=w*g(v)$，$g$取包含根式的代数函数时，会得到一些非平凡的结论。

数学星空

有关N倍弧长公式的讨论:
https://bbs.emath.ac.cn/thread-6039-1-1.html

zeus

复平面上，如果椭圆过三点$0,1,p+qi$,且以$u+vi$为其中心，那么该椭圆的两个焦点是以下方程的两个根:
$ q (q - 2 v) (-q + 2 q u - 2 p v) (-q + 2 q u + 2 v - 2 p v) z^2 - 2 q (q - 2 v) (u + I v) (-q + 2 q u - 2 p v) (-q + 2 q u + 2 v -
   2 p v) z + (-q^2 u + 2 q^2 u^2 + 2 p q v + I q^2 v - 4 p q u v - 2 p v^2 +
  2 p^2 v^2 - 2 I q v^2)^2 = 0 $

我们记
$ \alpha =q (q-2 v) (-2 p v+2 q u-q) (-2 p v+2 q u-q+2 v) $
$ \beta =-2 q (q-2 v) (u+i v) (-2 p v+2 q u-q) (-2 p v+2 q u-q+2 v) $
$ \gamma =\left(2 p^2 v^2-4 p q u v+2 p q v-2 p v^2+2 q^2 u^2-q^2 u+i q^2 v-2 i q v^2\right)^2 $
焦点方程即为：$ \alpha  z^2+\beta  z + \gamma =0 $
这样我们可以得知椭圆的两焦点距离之半为：
$$ \frac{1}{2}\sqrt{\left|\frac{\beta ^2-4 \alpha  \gamma }{\alpha ^2}\right|} $$
椭圆的长半轴之长为：
$$ \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\sqrt {|\frac{{{\beta ^2}}}{{{\alpha ^2}}}| + 4|\frac{\gamma }{\alpha }| + |\frac{{{\beta ^2} - 4\alpha \gamma }}{{{\alpha ^2}}}|}  $$
椭圆的短半轴之长为：
$$ \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\sqrt {|\frac{{{\beta ^2}}}{{{\alpha ^2}}}| + 4|\frac{\gamma }{\alpha }| - |\frac{{{\beta ^2} - 4\alpha \gamma }}{{{\alpha ^2}}}|}  $$