如何证明圆周率为定值？ ​​​​

markfang2050

如何证明圆周率为定值？ ​​​​

@hujunhua @kastin @math

hujunhua

相似图形基本性质：相似图形对应线素的长度比相等，称为相似比。

两圆恒为相似图形，设周长和直径分别为`C_1,d_1`和`C_2, d_2`，则\[\frac{C_1}{C_2}= \frac{d_1}{d_2}⇒ \frac{C_1}{d_1}= \frac{C_2}{d_2}\]即任意两圆的周径比（圆周率）皆相等，为一常数。

hujunhua

问题归结为任意两圆恒为相似图形。
这个结论可以加强为“任意两圆恒为位似图形”。
这不难通过圆的定义“到定点的距离等于定值的轨迹”得到证明。

markfang2050

hujunhua 发表于 2019-11-3 18:44
问题归结为任意两圆恒为相似图形。
这个结论可以加强为“任意两圆恒为位似图形”。
这不难通过圆的定义“ ...

圆周长如何证明与圆周率联系上？

markfang2050

markfang2050 发表于 2019-11-3 20:09
圆周长如何证明与圆周率联系上？

这个证明据说也是一个老外才证明了的，经历了100多年。

markfang2050

π是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特于1761年证明的。 1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更证明了π是超越数，即π不可能是任何整系数多项式的根。

mathematica

所有正整数的平方的倒数和，收敛到pi^2/6，而pi是正值，所以pi只有一个！
这个证明简单不？

wsc810

mathematica 发表于 2019-11-5 11:39
所有正整数的平方的倒数和，收敛到pi^2/6，而pi是正值，所以pi只有一个！
这个证明简单不？

所有奇数的平方的倒数和是多少，或者所有偶数的平方的倒数的和是多少

mathematica

wsc810 发表于 2019-11-5 15:30
所有奇数的平方的倒数和是多少，或者所有偶数的平方的倒数的和是多少

我算出来的奇数是
1/8pi^2
偶数是1/24pi^2
假设奇数是x，那么偶数是1/4*(pi^2/6)
总和=x+1/4*(pi^2/6)=pi^2/6（奇数加偶数，等于所有的正整数）
解方程得x=1/8pi^2奇数，偶数是1/24pi^2

dlsh

前年数学中国论坛Elim老师的解答：
大致说来，首先得给出曲线长度的定义： 通俗地说，从曲线段一端点到另一端点的途径上任取有限个点，它们按路径顺序构成一折线, 其的长度被其节点完全确定。记这些折线长度所构成的集合为 E， 如果 E 是有界集，则其上确界 sup(E), 就是这曲线段的长度。

根据现行实数理论，上述定义唯一确定了一个实数，它是直径为 1 的圆周 O 的长度，称其为 Pi. 现在考虑任意直径 d 的圆 O'. 我们要证明它的周长 P =  d×Pi.

任取 ε > 0, 由 P 的定义，存在 O' 的内接多边形 Γ’， 其周长 p(Γ’) 满足 P- ε < p(Γ’) < P, 取 O 的与 O' 相似的多边形 Γ，由相似关系知道 d× p(Γ) =  p(Γ’), 所以有 P- ε < d× p(Γ) < d× Pi, 由  ε 的任意性， P ≤ d× Pi  (1)

反过来, 由 Pi 的定义，可取得 O 的内接多边形 Γ 使得 Pi -ε/d < p( Γ) < Pi, 现取 O' 的与 Γ 相似的内接多边形 Γ’，则有 d× p(Γ) =  p(Γ’)，于是有 d× Pi -ε =  d× p(Γ) =  p(Γ’) < P, 进而得到   d× Pi ≤ P  (2).

综合 (1),(2) 得 d× Pi = P， P/d = Pi,  即任何圆周的周长与直径之比等于定数 Pi.