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[讨论] 如何证明圆周率为定值? ​​​​

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发表于 2019-11-3 08:56:05 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如何证明圆周率为定值? ​​​​

@hujunhua @kastin @math

PI

PI
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-3 15:09:43 | 显示全部楼层
相似图形基本性质:相似图形对应线素的长度比相等,称为相似比。

两圆恒为相似图形,设周长和直径分别为`C_1,d_1`和`C_2, d_2`,则\[\frac{C_1}{C_2}= \frac{d_1}{d_2}⇒ \frac{C_1}{d_1}= \frac{C_2}{d_2}\]即任意两圆的周径比(圆周率)皆相等,为一常数。
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发表于 2019-11-3 18:44:11 | 显示全部楼层
问题归结为任意两圆恒为相似图形。
这个结论可以加强为“任意两圆恒为位似图形”。
这不难通过圆的定义“到定点的距离等于定值的轨迹”得到证明。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-11-3 20:09:18 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2019-11-3 18:44
问题归结为任意两圆恒为相似图形。
这个结论可以加强为“任意两圆恒为位似图形”。
这不难通过圆的定义“ ...

圆周长如何证明与圆周率联系上?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-11-3 22:20:41 | 显示全部楼层
markfang2050 发表于 2019-11-3 20:09
圆周长如何证明与圆周率联系上?

这个证明据说也是一个老外才证明了的,经历了100多年。

点评

发个链接看看  发表于 2019-11-4 08:12
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-11-4 11:21:32 | 显示全部楼层
π是个无理数,即不可表达成两个整数之比,是由瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特于1761年证明的。 1882年,林德曼(Ferdinand von Lindemann)更证明了π是超越数,即π不可能是任何整系数多项式的根。

点评

这有什么关系?  发表于 2019-11-4 11:36
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-5 11:39:53 | 显示全部楼层
所有正整数的平方的倒数和,收敛到pi^2/6,而pi是正值,所以pi只有一个!
这个证明简单不?
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发表于 2019-11-5 15:30:20 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2019-11-5 11:39
所有正整数的平方的倒数和,收敛到pi^2/6,而pi是正值,所以pi只有一个!
这个证明简单不?

所有奇数的平方的倒数和是多少,或者所有偶数的平方的倒数的和是多少
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发表于 2019-11-6 08:19:29 | 显示全部楼层
wsc810 发表于 2019-11-5 15:30
所有奇数的平方的倒数和是多少,或者所有偶数的平方的倒数的和是多少

我算出来的奇数是
1/8pi^2
偶数是1/24pi^2
假设奇数是x,那么偶数是1/4*(pi^2/6)
总和=x+1/4*(pi^2/6)=pi^2/6(奇数加偶数,等于所有的正整数)
解方程得x=1/8pi^2奇数,偶数是1/24pi^2
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发表于 2019-11-6 20:53:50 | 显示全部楼层
前年数学中国论坛Elim老师的解答:
大致说来,首先得给出曲线长度的定义: 通俗地说,从曲线段一端点到另一端点的途径上任取有限个点,它们按路径顺序构成一折线, 其的长度被其节点完全确定。记这些折线长度所构成的集合为 E, 如果 E 是有界集,则其上确界 sup(E), 就是这曲线段的长度。

根据现行实数理论,上述定义唯一确定了一个实数,它是直径为 1 的圆周 O 的长度,称其为 Pi. 现在考虑任意直径 d 的圆 O'. 我们要证明它的周长 P =  d×Pi.

任取 ε > 0, 由 P 的定义,存在 O' 的内接多边形 Γ’, 其周长 p(Γ’) 满足 P- ε < p(Γ’) < P, 取 O 的与 O' 相似的多边形 Γ,由相似关系知道 d× p(Γ) =  p(Γ’), 所以有 P- ε < d× p(Γ) < d× Pi, 由  ε 的任意性, P ≤ d× Pi  (1)

反过来, 由 Pi 的定义,可取得 O 的内接多边形 Γ 使得 Pi -ε/d < p( Γ) < Pi, 现取 O' 的与 Γ 相似的内接多边形 Γ’,则有 d× p(Γ) =  p(Γ’),于是有 d× Pi -ε =  d× p(Γ) =  p(Γ’) < P, 进而得到   d× Pi ≤ P  (2).

综合 (1),(2) 得 d× Pi = P, P/d = Pi,  即任何圆周的周长与直径之比等于定数 Pi.

点评

这个思路靠谱,实数的完备性,连续性绕不过的。  发表于 2019-11-6 22:02
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