复数级数通天塔的收敛域

wayne

首先,我们约定复数的复数幂的定义是基于正实数为底的指数来的,即$z^w \equiv exp(wlog(z))$.

然后, 已知对于复数z, 级数$a_1(z)=z, a_n(z)=(a_{n-1}(z))^z$, 求使得$b(z) = \lim_{n->+\infty}a_{n}(z)$极限存在,$z$的取值范围[区域].

举几个例子:
$b(\sqrt{2}) = 2$
$ b(1+i) = 0.6410264788204891644589235085153910313 +  0.52362846125716326516257255521972072939 I$
$b(2+i) = 0.58906803251017804770 + 0.88876916846591750984 I$

zeroieme

幂的指数为复数时多值性质好象还没讨论完。。。。。。

wayne

假设收敛,设 y=z^z^z^...., 则 $y= z^y$,  取对数就会发现, 形式就是 LambertW函数,  http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
然后搜到 http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html .  提及,当且仅当$ e^{-e}<=x<=e^{1/e}$的时候,y收敛.  这个x是指z的实部Re[z]吗

这道题目是我在 MATLAB的微信公众号上 发现的.

1. Plot[-(ProductLog[-Log[x]]/Log[x]), {x, -1, 2}, AspectRatio -> 1]

复制代码

lsr314

初始值$z=2i$的时候会产生一个周期为$3$的循环圈（循环圈的意思是迭代值按一定的次序收敛于若干个值，比如奇数项收敛于一个值，偶数项收敛于一个值）。
而周期三意味着混沌。所以对于任意正整数$n$，都存在一个复数$z$，迭代以后会形成周期为$n$的循环圈。
题目问的是对于哪些复数，其周期是$1$,也就是收敛于一个确定的值。这是一个很复杂的边界，应该是分形的。
初始值$z=2+3/2i$的时候会产生一个周期为$4$的循环圈，目前没找到周期是$2$的初始值。试了几个值，感觉很难找。

lsr314

边界刚好就是$we^w=-logz$的图像,其中$|w|=1.$即边界方程为
$z=e^(-we^w)=e^(-e^(e^(ti) +ti))$
其中$t\in[0,2pi]$.
参数方程为：
$a=Re[e^(-e^(e^(ti) +ti))]$
$b=Im[e^(-e^(e^(ti) +ti))]$
其中$t\in[0,2pi]$.
函数图象为：

lsr314

和之前的猜测相反，一般来说，使得迭代函数趋于一个极限的初始值的区域，其边界一般不是分形的，而是一个光滑的封闭曲线。

lsr314

理论上5#的方法可以求出周期为任意正整数的初始值的范围，不过比较麻烦。

dingjifen

问题在于：log(z)是一个多值函数，那如何确定log(z)的单值呢？