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[原创] 复数级数通天塔的收敛域

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发表于 2019-11-22 13:10:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

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首先,我们约定复数的复数幂的定义是基于正实数为底的指数来的,即$z^w \equiv exp(wlog(z))$.

然后, 已知对于复数z, 级数$a_1(z)=z, a_n(z)=(a_{n-1}(z))^z$, 求使得$b(z) = \lim_{n->+\infty}a_{n}(z)$极限存在,$z$的取值范围[区域].

举几个例子:
$b(\sqrt{2}) = 2$
$ b(1+i) = 0.6410264788204891644589235085153910313 +  0.52362846125716326516257255521972072939 I$
$b(2+i) = 0.58906803251017804770 + 0.88876916846591750984 I$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-11-22 13:37:52 | 显示全部楼层
幂的指数为复数时多值性质好象还没讨论完。。。。。。

点评

主题重新编辑了  发表于 2019-11-23 10:37
好像是的,差点忘了这茬了  发表于 2019-11-23 09:12
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 楼主| 发表于 2019-11-23 10:43:50 | 显示全部楼层
假设收敛,设 y=z^z^z^...., 则 $y= z^y$,  取对数就会发现, 形式就是 LambertW函数,  http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
然后搜到 http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html .  提及,当且仅当$ e^{-e}<=x<=e^{1/e}$的时候,y收敛.  这个x是指z的实部Re[z]吗

这道题目是我在 MATLAB的微信公众号上 发现的.

  1. Plot[-(ProductLog[-Log[x]]/Log[x]), {x, -1, 2}, AspectRatio -> 1]
复制代码
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发表于 2019-11-27 18:01:17 | 显示全部楼层
初始值$z=2i$的时候会产生一个周期为$3$的循环圈(循环圈的意思是迭代值按一定的次序收敛于若干个值,比如奇数项收敛于一个值,偶数项收敛于一个值)。
而周期三意味着混沌。所以对于任意正整数$n$,都存在一个复数$z$,迭代以后会形成周期为$n$的循环圈。
题目问的是对于哪些复数,其周期是$1$,也就是收敛于一个确定的值。这是一个很复杂的边界,应该是分形的。
初始值$z=2+3/2i$的时候会产生一个周期为$4$的循环圈,目前没找到周期是$2$的初始值。试了几个值,感觉很难找。
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发表于 2019-11-27 23:23:39 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2019-11-27 23:35 编辑

边界刚好就是$we^w=-logz$的图像,其中$|w|=1.$即边界方程为
$z=e^(-we^w)=e^(-e^(e^(ti) +ti))$
其中$t\in[0,2pi]$.
参数方程为:
$a=Re[e^(-e^(e^(ti) +ti))]$
$b=Im[e^(-e^(e^(ti) +ti))]$
其中$t\in[0,2pi]$.
函数图象为:
1.jpg

点评

可能会漏掉一些孤立的点  发表于 2019-11-28 09:12
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发表于 2019-11-27 23:27:21 | 显示全部楼层
和之前的猜测相反,一般来说,使得迭代函数趋于一个极限的初始值的区域,其边界一般不是分形的,而是一个光滑的封闭曲线。
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发表于 2019-11-27 23:33:12 | 显示全部楼层
理论上5#的方法可以求出周期为任意正整数的初始值的范围,不过比较麻烦。
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