这样“好”的三角形会有吗？

葡萄糖

满足这么多条件的海伦三角形估计不大可能存在，即便是有也会特别大
给几个相关的海伦三角形
如下是三边为平方数，周长仅为整数，面积为整数的整边三角形
{a -> 1853^2, b -> 4380^2, c -> 4427^2}
{a -> 11789^2, b -> 68104^2, c -> 68595^2}
这两个都是钝角的整边三角形！
满足三边为平方数之后，再让面积为整数就已经很困难了。

参考：A318575   
Areas of primitive Heron triangles with square sides.
https://oeis.org/A318575

SSSTriangle[1853^2, 4380^2, 4427^2]
Area[SSSTriangle[1853^2, 4380^2, 4427^2]]
Graphics[SSSTriangle[1853^2, 4380^2, 4427^2]]

SSSTriangle[11789^2, 68104^2, 68595^2]
Area[SSSTriangle[11789^2, 68104^2, 68595^2]]
Graphics[SSSTriangle[11789^2, 68104^2, 68595^2]]

葡萄糖

如下是三边整数，周长为平方数，面积为整数的整边三角形
\(\begin{cases}
a=16 m^2+n^2\\
b=9\left(2 m^2-n^2\right)\\
c=2\left(m^2+4 n^2\right)\\
a+b+c=36m^2\\
S=mn\left(2m^2+ n^2\right)
\end{cases}\)
但是，好像这不是全部的解……

王守恩

葡萄糖 发表于 2019-12-1 22:50
如下是三边整数，周长为平方数，面积为整数的整边三角形
\(\begin{cases}
a=16 m^2+n^2\\

设三角形三边(整数)为 a,b,c，由下可得面积(整数)解。

\(\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}=\bigg\lceil\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}\bigg\rceil\)

王守恩

葡萄糖 发表于 2019-12-1 19:52
满足这么多条件的海伦三角形估计不大可能存在，即便是有也会特别大
给几个相关的海伦三角形
如下是三边为 ...

面积是完全平方数的只有唯一解。
面积=36：a=9,b=10,c=17，或a=3,b=25,c=26，a,b,c是三边。
是这样吗？各位网友！说说您的想法。

lsr314

王守恩 发表于 2019-12-2 13:55
面积是完全平方数的只有唯一解。
面积=36：a=9,b=10,c=17，或a=3,b=25,c=26，a,b,c是三边。
是这样吗 ...

{3,25,26,36}
{9,10,17,36}
{17,113,120,900}
{41,357,370,7056}
{104,657,697,32400}
{255,353,392,44100}
{305,424,567,63504}
{337,441,680,63504}
{520,641,1089,108900}
{539,890,1233,213444}
{585,746,847,213444}
{696,865,1183,298116}
实际上有无限多组。

王守恩

王守恩 发表于 2019-12-2 03:57
设三角形三边(整数)为 a,b,c，由下可得面积(整数)解。

\(\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}=\big ...

13 楼补充：三角形三边为 a,b,c，面积公式 S 是这样来的。
\(S=\frac{1}{2}*a*b*\sin C\)
\(=\frac{1}{2}*a*b*\sqrt{1-(\cos C)^2}\)
\(=\frac{1}{2}*a*b*\sqrt{1-\big(\frac{a^2+b^2-c^2}{2*a*b}\big)^2}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{(2*a*b)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{(2*a*b+a^2+b^2-c^2)(2*a*b-a^2-b^2+c^2)}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{\big((a+b)^2-c^2\big)\big(c^2-(a-b)^2)\big)}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}\)

这样也可以：
\(S=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{a+b+c}{2}-b)(\frac{a+b+c}{2}-a)(\frac{a+b+c}{2}-c)}\)
\(=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{a+b+c-2b}{2})(\frac{a+b+c-2a}{2})(\frac{a+b+c-2c}{2})}\)
\(=\sqrt{(\frac{a+b+c}{2})(\frac{c+a-b}{2})(\frac{b+c-a}{2})(\frac{a+b-c}{2})}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}\)

xiaoshuchong

数论爱好者 发表于 2019-12-1 08:18
三边是平方数的三角形是可以为任意三角形的。
降低条件搜了一下，假若面积为平方数，求三条边满足 勾股定 ...

三边为平方数显然不能是直角三角形，因为费马大定理

xiaoshuchong

数论爱好者 发表于 2019-12-1 11:40
面积为平方数的勾股数找一找看看

不存在面积为平方数的直角三角形和等边三角形

xiaoshuchong

王守恩 发表于 2019-12-2 13:55
面积是完全平方数的只有唯一解。
面积=36：a=9,b=10,c=17，或a=3,b=25,c=26，a,b,c是三边。
是这样吗 ...

三边如下时面积为1
\[\begin{eqnarray*}
a&=&\frac{5k^{4}-4k^{2}+4}{k\left(k^{4}-4\right)}\\b&=&\frac{k\left(k^{4}-4k^{2}+20\right)}{2\left(k^{4}-4\right)}\\c&=&\frac{k^{2}+2}{2k}
\end{eqnarray*}\]
k为有理数
来自某乎的结果。
https://www.zhihu.com/question/266884418/answer/317341686

xiaoshuchong

王守恩 发表于 2019-12-1 08:42
降低条件是可以的：144+225+256=625
降低条件是可以的：9+10+17=36,面积=36

周长和面积以及其中一边为平方数的例子还有以下几个
\[\begin{eqnarray*}
a,b,c,l,S&=&10,17,3^{2},6^{2},6^{2};\\&&39^{2},3712,3983,96^{2},1680^{2};\\&&40^{2},2482,4018,90^{2},840^{2};\\&&12401,120250,357^{2},510^{2},24990^{2};\\&&15170,23137,113^{2},226^{2},9492^{2};\\&&30962,59150,288^{2},416^{2},26208^{2};\\&&57130,456977,717^{2},1014^{2},18642^{2};\\&&233248,907151,855^{2},1368^{2},248976^{2};
\end{eqnarray*}\]