如何使得角度最大？

mathematica

mathe 发表于 2020-1-16 18:56
对A,B两点张角相等的点应该是过A,B两点的圆弧绕AB轴得到的图形。角度不同，得到的图不同，但是同样，和目 ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. a=0
   
3. b=1
   
4. c=0
   
5. d=6
   
6. e=2
   
7. f=2
   
8. (*子函数，用来计算两点的距离*)
   
9. dis[x1_,y1_,z1_,x2_,y2_,z2_]=Sqrt[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2]
   
10. (*计算出两个矢量的夹角的余弦值*)
    
11. alpha=((a-x)*(d-x)+(b-0)*(e-0)+(c-0)*(f-0))/(dis[a,b,c,x,0,0]*dis[d,e,f,x,0,0])//FullSimplify
    
12. (*求解余弦值对x的导数*)
    
13. kx=D[alpha,{x}]//FullSimplify
    
14. (*求解导数等于零的x*)
    
15. out=Solve[kx==0,{x}]//FullSimplify
    
16. (*画出夹角关于x的函数图*)
    
17. Plot[ArcCos[alpha]*180/Pi,{x,-20,20},PlotRange->All]
    

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A(0,1,0) B(6,2,2)
求解结果
{{x -> 2.38836}, {x -> -2.99418 - 3.48385 I}, {x -> -2.99418 + 3.48385 I}}

结合上图的结果，我猜测：如果最大角能够大于90度，那么就只有一个极值，如果最大角小于90度，那么就有三个极值！

sheng_jianguo

mathematica 发表于 2020-1-17 14:52
A(0,1,0) B(6,2,2)
求解结果
{{x -> 2.38836}, {x -> -2.99418 - 3.48385 I}, {x -> -2.99418 + 3.48 ...

你的猜测不对，如：
A(0,2,1) B(0,3,2)，最大夹角约14.5°（P点可在两个不同点都达到此最大值），但明显有三个极值！
这个例子也说明，最大值可发生在两个不同的点（解不是唯一的）。
我估计极值点个数与线段AB与x轴的距离有关，当超过一定距离时，只有一个极值点。

sheng_jianguo

mathematica 发表于 2020-1-9 12:55
你可以尝试三维空间的点，
比如A(a,b,c)   B(d,e,f)
然后直线是x轴，

利用空余时间，推导出三维空间的以下分析结果，不知是否还有更好的结果

【题目】三维欧氏空间中两定点A(a,b,c)，B(d,e,f)及动点P(x,0,0)，求x使PA与PB的夹角最大。

注：为使分析中的公式简洁统一，后面分析讨论中假定过A、B点直线与x轴不共面（b*f-c*e≠0，(b-e)^2+(c-f)^2≠0）。对于共面的情况，（即退化为二维欧氏空间情况），求解最大夹角方法较为简单，前面已详细分析讨论过。虽然假定过A、B点直线与x轴不共面，然而下面解答中有些推导分析结果，对某些过A、B点直线与x轴共面情况仍然是成立的。

一. 几何分析
设t为线段AB的半长，t=(1/2)*((a-d)^2+(b-e)^2+(c-f)^2)^(1/2)；
s为过A、B点直线与x轴的距离，s=((b*f-c*e)^2))^(1/2)*((b-e)^2+(c-f)^2)^(-1/2)；
Ra为过A、B和D三点（D点到AB中点C的距离为s，且CD⊥AB）的圆， Ra=(t^2+s^2)/(2*s)；
Rb为过A、B和E((a+d)/2,0,0)三点圆的半径，Rb=a1*b1*c1/(4*S1)
其中：a1=2*t; b1= (((a-d)/2)^2+b^2+c^2)^(1/2); c1= (((a-d)/2)^2+e^2+f^2)^(1/2);
　　　S1=(s1*(s1-a1)*(s1-b1)*(s1-c1))^(1/2); s1=(a1+b1+c1)/2
１.如果以A、B点连线为直径的半圆绕AB旋转形成的球与x轴相交
　　则过A、B点半径为R（R从Ra逐渐过渡到t）的小圆弧绕AB旋转形成的体（见图１）中，必有一个体与x轴相切，切点P就是要求的最大夹角点。
２.如果以A、B点连线为直径的半圆绕AB旋转形成的球与x轴不相交
　　则过A、B点半径为R（R从t逐渐过渡到Rb）的大圆弧绕AB旋转形成的体（见图2）中，必有体与x轴相切，其第一个体（R最小的体）的切点P就是要求的最大夹角点。

注：图1和图2中的体具有以下特征：
　　对某个确定的体（R不变），在体表面上（除了A、B两点）的任何动点D，DA与DB的夹角为不变定值（对于图1的不相同体，R越大DA与DB的夹角越大，对于图2的不相同体，R越大DA与DB的夹角越小）；体内的任何点E，EA与EB的夹角大于DA与DB的夹角; 体外的任何点F，FA与FB的夹角小于DA与DB的夹角。体在切点P附近（除P外）的切线若都在体外，则P为极大值点；若都在体内，则P为极小值点（仅发生在图2的体）；若一边点在体外，另一边点在体内，则P为拐点（仅发生在图2的体）。

sheng_jianguo

二. 数值分析
设α(x)为PA与PB的夹角函数，则
α(x)=arccos(β(x)) 其中：
β(x)=((a-x)*(d-x)+b*e+c*f)/(((a-x)^2+b^2+c^2)^(1/2)*((d-x)^2+e^2+f^2)^(1/2))
由于当x →±∞时α(x) →0，且α(x)是大于0的有界可导函数，故α(x)的最大值存在，达到最大值的x必满足α'(x)=0，α'(x)是α(x)的导函数。
α'(x)=f(x)*g(x)
其中f(x)=(1-β(x)*β(x))^(-1/2)*(((x-a)^2+b^2+c^2)*((x-d)^2+e^2+f^2))^(-3/2)>0;
　   g(x)=(e*(a-x)+b*(x-d))*(e*(a-x)^2-b*(x-d)^2+b^2*e-b*e^2)
　　　　＋c^2*((d-x)*((d-x)^2+e^2)+e*(e*(a-x)+b*(x-d)))
　　　　＋f^2*((a-x)*((a-x)^2+b^2)+b*(b*(d-x)+e*(x-a)))
　　　　＋c*f*((x-a)*((x-d)^2+e^2)+(x-d)*((x-a)^2+b^2))
　　　　＋c^2*f^2*((a-x)+(d-x))+c*f^3*(x-a)+c^3*f*(x-d) 是x的一元三次函数
故所求的x必满足g(x)=0，也就是说，所求的x必是g(x)=0的三个根中的某实根。
所以，若g(x)=0实根xi满足α(xi)≥α(xj)（xj是g(x)=0任一实根），则xi就是所求的x。

sheng_jianguo

三. 极值分析
为使分析PA与PB的夹角函数α(x)的极值分布状况简洁明了，将A、B两点移动到A1(-m,y0-h,z0)和B1(m,y0+h,z0)两点，使得PA1与PB1的夹角函数α1(x)=α(k*x+x0)（α(x)为PA与PB的夹角函数，x0为AB中点的x坐标，k=1或k=-1），由于α(x)和α(k*x+x0)的极值分布状况相同，故移动A、B两点后的夹角函数的极值大小及分布状况不变，故只要分析PA1与PB1的夹角函数的极值分布状况就可以了。具体方法步骤如下：
1. A、B两点绕x轴旋转，使得旋转后两点的z坐标都是正值且相等（两点旋转后的z坐标z0只能是过A、B点直线与x轴的距离s）。
2.若x0≠0，再沿x轴方向平移A、B两点，使得平移后x0=0。
3.若A点的x坐标大于B点的x坐标，再对换A、B两点（将B点称为A；将A点称为B）。
4.若y0<0（y0为AB中点的y坐标），再将A、B两点移动到y=0平面的对称点。
5.若A点的y坐标大于B点的x坐标，再将A、B两点移动到y=y0平面的对称点（这时将k=1改为k=-1）。
A、B两点按上面步骤移动后的坐标计算公式为
x坐标：Ax=-m; Bx=m; m=(1/2)*((a-d)^2)^(1/2) ≥0
y坐标：Ay=y0-h; By=y0+h;
　　　　y0=(1/2)*((b^2-e^2+c^2-f^2)^2)^(1/2)*((b-e)^2+(c-f)^2)^(-1/2) ≥0;
　　　  h=(1/2)*((b-e)^2+(c-f)^2)^(1/2) >0
z坐标：Az=Bz=z0; z0=((b*f-c*e)^2)^(1/2)*((b-e)^2+(c-f)^2)^(-1/2)=s >0
对于A1(-m,y0-h,z0)、B1(m,y0+h,z0)两点及动点P(x,0,0)，PA1与PB1的夹角函数为
α1(x)=arccos(β1(x))
β1(x)=((x+m)*(x-m)+(y0^2-h^2)+s^2)/(((x+m)^2+(y0-h)^2+s^2)^(1/2)*((x-m)^2+(y0+h)^2+s^2)^(1/2))
α1(x)的导函数α1'(x)=f1(x)*g1(x)
f1(x)=-4*(1-β1(x)*β1(x))^(-1/2)*(((x+m)^2+(y0-h)^2+s^2)*((x-m)^2+(y0+h)^2+s^2))^(-3/2) <0;
g1(x)=a'*x^3+b'*x^2+c'*x+d' 是x的一元三次函数，其中
　　a'＝h^2；b'＝3*m*h*y0；c'＝2*m^2*y0^2+m^2*h^2+2*m^2*s^2+h^2*s^2+h^4-h^2*y0^2；
　　d'＝m*h*(m^2*y0-y0^3+h^2*y0-y0*s^2)
令Δ=(1/27)*p^3+(1/4)*q^2，其中
p=(3*a'*c'-b'^2)/(3*a'^2)=((2*m^2+h^2)*s^2-(m^2+h^2)*(y0^2-h^2))/h^2
q=(2*b'^3-9*a'*b'*c'+27*a'^2*d')/(27*a'^3)=-2*m*y0*(m^2+h^2)*s^2/h^3
当Δ<0时，方程g1(x)=0有三个不同的实根，α1(x)有两个极大值点和一个极小值点。
当Δ>0时，方程g1(x)=0只有一个实根，α1(x)只有一个极大值点。
当Δ=0时，方程g1(x)=0有一个（或二个）不同的实根，α1(x)有一个极大值点（或一个极大值点和一个拐点）。
1. m=0
g1(x)=h^2*(x^2-(y0^2-s^2-h^2))*x
故当s^2≥y0^2-h^2时g1(x)=0只有x=0的实根，α1(x)只有一个极大值点。
当s^2<y0^2-h^2时g1(x)=0有三个不同的实根，α1(x)有两个极大值的点（两极大值相等）和一个极小值点。
2. m≠0
1) y0≤h
因p>0，推得Δ>0故g1(x)=0只有一个实根，α1(x)只有一个极大值点。
2) y0>h且s≥sp（其中sp=((m^2+h^2)*(y0^2-h^2)/(2*m^2+h^2))^(1/2)）
因p≥0，推得Δ>0故g1(x)=0只有一个实根，α1(x)只有一个极大值点。
3) y0>h且s<sp
因Δ=1/h^6*((1/27)*((2*m^2+h^2)*s^2-(m^2+h^2)*(y0^2-h^2))^3+(m*y0*(m^2+h^2)*s^2)^2)
说明Δ是s的单调递增函数，且s=0时，Δ<0；s=sp时，Δ>0，故存在唯一s，满足Δ=0，令满足Δ=0的s为s0。
当s<s0时，g1(x)=0有三个不同的实根，α1(x)有两个极大值点（两极大值不相等）和一个极小值点。
当s>s0时，g1(x)=0只有一个实根，α1(x)只有一个极大值点。
当s=s0时，g1(x)=0只有两个不同的实根，α1(x)有一个极大值点和一个拐点。