如何使得角度最大？

mathematica

mathematica 发表于 2020-1-9 09:31
不给五楼的abcd赋值，那么求解结果是
\[\left\{\left\{\text{x1}\to -\frac{\sqrt{b d \left((a-c)^2+(b ...

把这个表达式尽可能地对称化，得到
\(\text{y1}\to \frac{(b+d) \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)+2 (a-c) \sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}}{2 (b-d)^2}\)

\(\text{y1}\to \frac{(b+d) \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)-2 (a-c) \sqrt{b d \left((a-c)^2+(b-d)^2\right)}}{2 (b-d)^2}\)

那么问题来了，这个y的几何意义应该如何叙述？

mathematica

sheng_jianguo 发表于 2020-1-8 16:52
本问题很有意思，看似不难，但A、B、P点分布情况情况较多，要分析清楚并得出正确简明结果是不容易的。
...

你可以尝试三维空间的点，
比如A(a,b,c)   B(d,e,f)
然后直线是x轴，
然后求最大的夹角，
试试看如何分类讨论！

sheng_jianguo

mathematica 发表于 2020-1-9 12:55
你可以尝试三维空间的点，
比如A(a,b,c)   B(d,e,f)
然后直线是x轴，

最近较忙，没及时仔细查看论坛。

按你的想法推广到三维，求最大的夹角不难:
令v1={a-x,b,c},v2={d-x,e,f}
alpha=Dot[v1,v2]/(Norm[v1]*Norm[v2])
对alpha求导
kx=D[alpha,{x}]
最大夹角的点的X坐标必在kx=0的点中。
对导数等于0的点x，按上面公式求出alpha，最大的ArcCos[alpha]*180/Pi就是最大的夹角。

对导数等于0的具体点x的表达式，可用软件得出（比如mathematica，我没用过，不知哪里有下载，我也想试用算一下），是否能得出其几何特征就不知道了。

mathematica

sheng_jianguo 发表于 2020-1-14 19:35
最近较忙，没及时仔细查看论坛。

按你的想法推广到三维，求最大的夹角不难:

我的意思是三维应该如何分类讨论呢？

sheng_jianguo

mathematica 发表于 2020-1-15 14:55
我的意思是三维应该如何分类讨论呢？

我认为三维分类比较简单：
1. 线段AB与x轴共面
这种情况旋转x轴一定角度后就是二维情况，再根据二维情况分类。
2. 线段AB与x轴不共面
这种情况可分为AB向量{a-d,b-e,c-f}与x轴垂直（a＝d）或与x轴不垂直（a≠d）两种情况。

mathe

三维情况用几何方法分析也很简单。查看以A,B为焦点的旋转椭球面，其中必然有一个和目标直线（或者x轴）相切，这时目标直线落在切面上，所以法线垂直于目标曲线。容易看出，这时对于切点P,PA和PB同目标直线的夹角会相等，这就是取极值的几何条件

mathematica

mathe 发表于 2020-1-16 15:23
三维情况用几何方法分析也很简单。查看以A,B为焦点的旋转椭球面，其中必然有一个和目标直线（或者x轴）相切 ...

用具体的算例，似乎是三个极值点，
椭球面的话，似乎只有一个点相切呀，

aimisiyou

倪举鹏 发表于 2019-12-31 09:13
过AB的圆与直线相切的切点

如果AB很近且离直线l较远，就不存在相切的可能了。

mathe

mathematica 发表于 2020-1-16 16:07
用具体的算例，似乎是三个极值点，
椭球面的话，似乎只有一个点相切呀，

对A,B两点张角相等的点应该是过A,B两点的圆弧绕AB轴得到的图形。角度不同，得到的图不同，但是同样，和目标直线相切的应该只有一个图，解应该是唯一的。
所以ABP的外接圆中，过P点的半径垂直于目标直线时才能角度取到最大

mathematica

mathe 发表于 2020-1-16 18:56
对A,B两点张角相等的点应该是过A,B两点的圆弧绕AB轴得到的图形。角度不同，得到的图不同，但是同样，和目 ...

1. Clear["Global`*"];
   
2. a=0
   
3. b=1
   
4. c=0
   
5. d=2
   
6. e=5
   
7. f=3
   
8. (*子函数，用来计算两点的距离*)
   
9. dis[x1_,y1_,z1_,x2_,y2_,z2_]=Sqrt[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2]
   
10. (*计算出两个矢量的夹角的余弦值*)
    
11. alpha=((a-x)*(d-x)+(b-0)*(e-0)+(c-0)*(f-0))/(dis[a,b,c,x,0,0]*dis[d,e,f,x,0,0])//FullSimplify
    
12. (*求解余弦值对x的导数*)
    
13. kx=D[alpha,{x}]//FullSimplify
    
14. (*求解导数等于零的x*)
    
15. out=Solve[kx==0,{x}]//FullSimplify
    
16. (*画出夹角关于x的函数图*)
    
17. Plot[ArcCos[alpha]*180/Pi,{x,-20,20},PlotRange->All]
    

复制代码

\[\left\{\{x\to 2\},\left\{x\to \frac{1}{25} \left(-4 \sqrt{34}-37\right)\right\},\left\{x\to \frac{1}{25} \left(4 \sqrt{34}-37\right)\right\}\right\}\]

A(0,1,0)  B(2,5,3) 直线是x轴，
求解角度如下：