一道平面几何题求最值

mathematica

这个问题可以改成A（0,27）、B（1,3），圆O的半径是1，圆心在原点
B(1,3)
然后求解PA+9*PB的距离最小值，

掌握了这个问题的精髓后，我出了一道这样的题目，大家可以试试看。


精髓就在这两个等式：
r^2=a*b
b/a=k^2（k必须大于1，如果不是大于1，则用1/k）
这个题如果要可以解决，必须有一个焦点同时满足这两个等式

creasson

可以令$$ \mathop {BP}\limits^ \to  {\rm{ = }}\frac{{\left( {s + t} \right)\left( {1 - st} \right)}}{{s{{\left( {1 - it} \right)}^2}}}\mathop {BA}\limits^ \to $$
$P$点在单位圆上，有
$$ 577 s^4 t^2+1296 s^3 t^3+108 s^3 t^2-1296 s^3 t+728 s^2 t^4+108 s^2 t^3-2574 s^2 t^2-108 s^2 t+728 s^2-1296 s t^3-108 s t^2+1296 s t+577 t^2 = 0$$
$$L = PA + 9PB = \left(\frac{\left(s^2+1\right) t}{s \left(t^2+1\right)}+\frac{9 (s+t) (1-s t)}{s \left(t^2+1\right)}\right) AB = \frac{\sqrt{577} \left(-8 s^2 t-9 s t^2+9 s+10 t\right)}{s \left(t^2+1\right)} $$
然后用拉格朗日乘子可求得两个极值点
`Sqrt[Root[
  10494561297377632681 - 360974714188632810 #1 +
    2796767674118232 #1^2 - 980212212272 #1^3 - 255945027 #1^4 +
    35922 #1^5 + 10 #1^6 &, 3]] = 45.509938`
`Sqrt[Root[
  10494561297377632681 - 360974714188632810 #1 +
    2796767674118232 #1^2 - 980212212272 #1^3 - 255945027 #1^4 +
    35922 #1^5 + 10 #1^6 &, 4]] = 65.416983`