数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 1622|回复: 15

[提问] 一道平面几何题求最值

[复制链接]
发表于 2020-1-8 12:06:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
如图,P在单位圆上滑动,求$PA+\sqrt{2}PB$的最小值。
捕获.PNG
类似的问题:https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... id=9497&fromuid=865
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-8 12:22:13 | 显示全部楼层
我没有答案,答案估计是
$\sqrt{17}$
最值点的坐标估计是
\[\left\{\frac{1}{34} \left(9 \sqrt{2}-20\right),\frac{3}{34} \left(5 \sqrt{2}+4\right)\right\}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-8 12:24:04 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. dis[x1_,y1_,x2_,y2_]=Sqrt[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
  3. out=NMinimize[{dis[-1,1,x,y]+Sqrt[2]*dis[x,y,1,3],x^2+y^2==1},{x,y},WorkingPrecision->100]
复制代码

我只会利用数值解来解决,然后利用RootApproximant来逼近代数数的根
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-1-8 16:36:17 | 显示全部楼层
Initial Objective: 4.46639275727405
Final Objective: 4.123105597713909
Solution
x1 = -0.21388786397251952
x2 = 0.9768582423000673
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-8 17:52:22 | 显示全部楼层
markfang2050 发表于 2020-1-8 16:36
Initial Objective: 4.46639275727405
Final Objective: 4.123105597713909
Solution

看结果是对的,求解过程呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-1-8 19:12:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 倪举鹏 于 2020-1-8 19:14 编辑

sin(n)/sin(m)=根号2                 {4.12311, {z -> 1.78635}}              Solve[Sqrt[2.0]*Cos[\[Pi] - z - ArcTan[(1 - Cos[z])/(3 - Sin[z])]] ==
  Cos[z - ArcTan[(1 + Cos[z])/(1 - Sin[z])]], z]
QQ图片20200108190959.png

点评

没看懂你的过程  发表于 2020-1-9 09:33
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-9 10:08:31 | 显示全部楼层
问题的答案:
设原点(圆心)为O。
连接OA,取OA的中点M,当P是MB与圆的交点时,取最小极值。

有这样的巧解,完全在于A点的位置——`OA=\sqrt2`, 这使得P所在的单位圆符合`PM=PA/\sqrt2`定义的阿氏圆。
而目标式可化成`\sqrt2(PA/\sqrt2+PB)=\sqrt2(PM+PB)`,于是P、M、B三点共线时得到最小值。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-13 09:37:36 | 显示全部楼层
我来总结一下,这类问题,PA+k·PB为目标函数,
那么求阿波罗尼斯圆的时候,比值要么是k,要么是1/k,
并且A、B当中,必然有一个是阿波罗尼斯圆的焦点,

由阿波罗尼斯圆的性质可以知道,外焦点,内焦点,圆心,三个在一条直线上,
并且内焦点必须在外焦点与圆心之间,并且两个焦点,必然一个在圆内,一个在圆外,
并且圆上的点到外焦点的距离是到内焦点的max(k,1/k)倍

对于本题,A、B都在圆心之外,必然是外焦点,
如果A是焦点,可以根据焦点A,圆心O,max(k,1/k)=$\sqrt{2}$,
以及圆与直线AO的两个交点,计算出内焦点,
并且根据这两个交点计算出来的内焦点,必须一致才能算成功,且算出来的内焦点,必须在圆内。

如果不成功,则假设B是焦点(很显然是外焦点),
然后再根据BO,max(k,1/k)=$\sqrt{2}$,计算出两个内焦点(这两个内焦点必须一致)
根据两个交点,计算出来的内焦点到圆心的距离分别是1.943、1.3098这两个距离不一致,且都在圆外,
所以B不是焦点。
类似的问题,都这么解决!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-13 10:26:43 | 显示全部楼层
假设外焦点是B,内焦点是A,圆心是O
BO=b
AO=a
半径是R
圆O与AB的交点是两个,假设分别是M,N
那么BM/AM=k=BN/AN (k是大于1的数)
得到方程(b + r)/(r + a) == (b - r)/(r - a)
解这个方程得到r^2=a*b
假设圆心在原点,BO=b,AO=a
则根据阿波罗尼斯圆的定义,列出方程
$\frac{a^2 k^2-2 a k^2 x-b^2+2 b x+\left(k^2-1\right) \left(x^2+y^2\right)}{k^2-1}=0$
由于圆心在原点,所以圆心横坐标等于0,因此得到b/a=k^2


r^2=a*b
b/a=k^2(k必须大于1,如果不是大于1,则用1/k)
这个题如果要可以解决,必须有一个焦点同时满足这两个等式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-1-14 09:11:14 | 显示全部楼层
这个问题可以改成A(0,27)、B(1,3),圆O的半径是1,圆心在原点
B(1,3)
然后求解PA+9*PB的距离最小值,

掌握了这个问题的精髓后,我出了一道这样的题目,大家可以试试看。


精髓就在这两个等式:
r^2=a*b
b/a=k^2(k必须大于1,如果不是大于1,则用1/k)
这个题如果要可以解决,必须有一个焦点同时满足这两个等式

点评

这个地方应该是半径是3,而不是1,后者做不出来,影响了下面的回复  发表于 2020-1-15 14:56
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2020-7-17 01:26 , Processed in 0.075541 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表