一道平面几何题求最值

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如图，P在单位圆上滑动，求$PA+\sqrt{2}PB$的最小值。

类似的问题：https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... id=9497&fromuid=865

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我没有答案，答案估计是
$\sqrt{17}$
最值点的坐标估计是
\[\left\{\frac{1}{34} \left(9 \sqrt{2}-20\right),\frac{3}{34} \left(5 \sqrt{2}+4\right)\right\}\]

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1. Clear["Global`*"];
   
2. dis[x1_,y1_,x2_,y2_]=Sqrt[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]
   
3. out=NMinimize[{dis[-1,1,x,y]+Sqrt[2]*dis[x,y,1,3],x^2+y^2==1},{x,y},WorkingPrecision->100]
   

复制代码

我只会利用数值解来解决，然后利用RootApproximant来逼近代数数的根

markfang2050

Initial Objective: 4.46639275727405
Final Objective: 4.123105597713909
Solution
x1 = -0.21388786397251952
x2 = 0.9768582423000673

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markfang2050 发表于 2020-1-8 16:36
Initial Objective: 4.46639275727405
Final Objective: 4.123105597713909
Solution

看结果是对的，求解过程呢？

倪举鹏

sin(n)/sin(m)=根号2                 {4.12311, {z -> 1.78635}}              Solve[Sqrt[2.0]*Cos[\[Pi] - z - ArcTan[(1 - Cos[z])/(3 - Sin[z])]] ==
  Cos[z - ArcTan[(1 + Cos[z])/(1 - Sin[z])]], z]

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问题的答案：
设原点（圆心）为O。
连接OA，取OA的中点M，当P是MB与圆的交点时，取最小极值。

有这样的巧解，完全在于A点的位置——`OA=\sqrt2`, 这使得P所在的单位圆符合`PM=PA/\sqrt2`定义的阿氏圆。
而目标式可化成`\sqrt2(PA/\sqrt2+PB)=\sqrt2(PM+PB)`,于是P、M、B三点共线时得到最小值。

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我来总结一下，这类问题，PA+k·PB为目标函数，
那么求阿波罗尼斯圆的时候，比值要么是k，要么是1/k，
并且A、B当中，必然有一个是阿波罗尼斯圆的焦点，

由阿波罗尼斯圆的性质可以知道，外焦点，内焦点，圆心，三个在一条直线上，
并且内焦点必须在外焦点与圆心之间，并且两个焦点，必然一个在圆内，一个在圆外，
并且圆上的点到外焦点的距离是到内焦点的max(k,1/k)倍

对于本题，A、B都在圆心之外，必然是外焦点，
如果A是焦点，可以根据焦点A，圆心O，max(k,1/k)=$\sqrt{2}$，
以及圆与直线AO的两个交点，计算出内焦点，
并且根据这两个交点计算出来的内焦点，必须一致才能算成功，且算出来的内焦点，必须在圆内。

如果不成功，则假设B是焦点（很显然是外焦点），
然后再根据BO，max(k,1/k)=$\sqrt{2}$，计算出两个内焦点（这两个内焦点必须一致）
根据两个交点，计算出来的内焦点到圆心的距离分别是1.943、1.3098这两个距离不一致，且都在圆外，
所以B不是焦点。
类似的问题，都这么解决！

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假设外焦点是B，内焦点是A，圆心是O
BO=b
AO=a
半径是R
圆O与AB的交点是两个，假设分别是M，N
那么BM/AM=k=BN/AN (k是大于1的数)
得到方程(b + r)/(r + a) == (b - r)/(r - a)
解这个方程得到r^2=a*b
假设圆心在原点，BO=b，AO=a
则根据阿波罗尼斯圆的定义，列出方程
$\frac{a^2 k^2-2 a k^2 x-b^2+2 b x+\left(k^2-1\right) \left(x^2+y^2\right)}{k^2-1}=0$
由于圆心在原点，所以圆心横坐标等于0，因此得到b/a=k^2


r^2=a*b
b/a=k^2（k必须大于1，如果不是大于1，则用1/k）
这个题如果要可以解决，必须有一个焦点同时满足这两个等式

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这个问题可以改成A（0,27）、B（1,3），圆O的半径是1，圆心在原点
B(1,3)
然后求解PA+9*PB的距离最小值，

掌握了这个问题的精髓后，我出了一道这样的题目，大家可以试试看。


精髓就在这两个等式：
r^2=a*b
b/a=k^2（k必须大于1，如果不是大于1，则用1/k）
这个题如果要可以解决，必须有一个焦点同时满足这两个等式