2^(2n)-2^n+1 中的素数仅有有限个

wsc810 · 发表于 2020-2-14 10:29:55

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本帖最后由 wsc810 于 2020-2-14 10:38 编辑

如题，n 是正整数，$2^{2n}-2^n+1$ 中的素数仅有以下4个

{3, 13, 241, 18446744069414584321} ，分别对应于 n=1,2,4,32

类似的，$2^{2n}+2^n+1$中的素数仅有{7, 73, 262657}，对应于n=1,3,9

以上结果对与 n 小于等于5000以内的数均做了验证，难的是用代数分析的方法怎么证明

mathe · 发表于 2020-2-14 11:01:40

样本数太小了，不说明问题。比如对于$2^{2n}-2^n+1$, 对于$n -= 1(mod 3)$,结果必然是3的倍数，对于$2^{2n}+2^n+1$,只能$ n-=1(mod 3)$才不是3的倍数.
另外根据素数定理假设每个数是素数的概率大概为$\frac{1}{2n\ln(2)}$，对这个结果将n从1到5000累加才约等于6，再考虑前面淘汰规则，所以在这个范围只找到这么一点结果是很合理的。但是由于$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n\ln(2)}$是发散的，有理由认为结果应该有无限个而不是有限个。

wsc810 · 发表于 2020-2-14 14:15:51

本帖最后由 wsc810 于 2020-2-14 14:17 编辑

n<=20000,以上两例均没有搜索到新的素数

熊一兵广义概率 · 发表于 2020-2-15 10:30:03

若2^(an)+f(n)发现10个素数，就有无穷个素数，其中，2^(an)比f(n)的绝对值大，

wayne · 发表于 2020-2-15 11:02:44

熊一兵广义概率发表于 2020-2-15 10:30
若2^(an)+f(n)发现10个素数，就有无穷个素数，其中，2^(an)比f(n)的绝对值大，

这个论断挺有意思，出处在哪

熊一兵广义概率 · 发表于 2020-2-15 19:46:33

wayne 发表于 2020-2-15 11:02
这个论断挺有意思，出处在哪

《概率素数论》

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[猜想] 2^(2n)-2^n+1 中的素数仅有有限个

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