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[猜想] 2^(2n)-2^n+1 中的素数仅有有限个

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发表于 2020-2-14 10:29:55 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 wsc810 于 2020-2-14 10:38 编辑

如题,n 是正整数,$2^{2n}-2^n+1$ 中的素数仅有以下4个

{3, 13, 241, 18446744069414584321} ,分别对应于 n=1,2,4,32

类似的,$2^{2n}+2^n+1$中的素数仅有{7, 73, 262657},对应于n=1,3,9  

以上结果对与 n 小于等于5000以内的数均做了验证,难的是用代数分析的方法怎么证明

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-2-14 11:01:40 | 显示全部楼层
样本数太小了,不说明问题。比如对于$2^{2n}-2^n+1$, 对于$n -= 1(mod 3)$,结果必然是3的倍数,对于$2^{2n}+2^n+1$,只能$ n-=1(mod 3)$才不是3的倍数.
另外根据素数定理假设每个数是素数的概率大概为$\frac{1}{2n\ln(2)}$,对这个结果将n从1到5000累加才约等于6,再考虑前面淘汰规则,所以在这个范围只找到这么一点结果是很合理的。但是由于$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n\ln(2)}$是发散的,有理由认为结果应该有无限个而不是有限个。

点评

弄错了,应该看n的奇偶性,各去掉一半  发表于 2020-2-14 14:22
BTW,终于知道大家说“有理由认为结果应该有无限个”的原因了  发表于 2020-2-14 14:06
比如对于, 对于$2^2n-2^n+1$,n为奇数时候结果必然是3的倍数,n=1 mod 3的时候,比如n=4的时候2^8-2^4+1=241的确是素数的……  发表于 2020-2-14 14:05
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 楼主| 发表于 2020-2-14 14:15:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 wsc810 于 2020-2-14 14:17 编辑

n<=20000,以上两例均没有搜索到新的素数
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-2-15 10:30:03 | 显示全部楼层
若2^(an)+f(n)发现10个素数,就有无穷个素数,其中,2^(an)比f(n)的绝对值大,
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-2-15 11:02:44 | 显示全部楼层
熊一兵广义概率 发表于 2020-2-15 10:30
若2^(an)+f(n)发现10个素数,就有无穷个素数,其中,2^(an)比f(n)的绝对值大,

这个论断挺有意思, 出处在哪
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发表于 2020-2-15 19:46:33 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2020-2-15 11:02
这个论断挺有意思, 出处在哪

《概率素数论》
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