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数学研发论坛»论坛 › 【综合大厅】 › 开心茶馆 › 有趣的回文
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楼主: dlpg070

[原创] 有趣的回文

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dlpg070
 楼主| 发表于 2020-3-6 16:03:14 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-3-6 10:31
A(n)的头部可以是这样：\((10^{\lceil\log_{10}n\rceil}+1)*n-1\)

后面您是怎么把她们粘在一起的，我 ...

你的公式表示什么,不理解.
我的计算结果:{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 109}对吗?
你的预期结果是什么?

点评

王守恩
我很好奇：后面您是怎么把她们粘在一起的？看不懂。  发表于 2020-3-6 18:55
dlpg070
我对公式理解有误,原下取整错,改为上取整,则结果如你预期  发表于 2020-3-6 18:27
王守恩
手工验算结果是 1, 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98,..  发表于 2020-3-6 18:24
dlpg070
你可以手工验算 n=2 n=3  发表于 2020-3-6 17:40
王守恩
我的预期结果是A(n)的头部= 1, 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98,...  发表于 2020-3-6 17:13
毋因群疑而阻独见　　毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体　　毋借公论以快私情
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dlpg070
 楼主| 发表于 2020-3-7 20:36:53 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2020-3-6 16:03
你的公式表示什么,不理解.
我的计算结果:{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 109}对吗?
你的预期结果是什 ...

利用你的前部的公式和递推公式
可以得到你要求的结果:

  1. aw[1]=1;
  2. aw[n_]:=aw[n]=((10^(Ceiling[Log10[n]])+1)*n-1)*10^IntegerLength[aw[n-1]]+aw[n-1];
  3. tw=Table[aw[n],{n,1,13}]
复制代码


输出:
{1,
211,
32211,
4332211,
544332211,
65544332211,
7665544332211,
877665544332211,
98877665544332211,
10998877665544332211,
111010998877665544332211,
1211111010998877665544332211,
13121211111010998877665544332211}

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王守恩 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 我们可以做很多题目了！！！

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dlpg070
 楼主| 发表于 2020-3-8 08:42:54 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2020-3-7 20:36
利用你的前部的公式和递推公式
可以得到你要求的结果:


用A[n_, k_]最简单,下面是Mathematica代码,验证无误
c++ ,和 Mathematica 数组开始下标不同,公式略有差异
A[n_, k_] := A[n, k] = Sign[k]*(n - Floor[k/2]);

  2. A[n_, k_] := A[n, k] = Sign[k]*(n - Floor[k/2]);
  3. tA = Table[A[n, k], {n, 1, 13}, {k, 1, n*2 - 1}];
  4. Column[tA, Left]

  6. ------
  7. 输出:
  8. {1}
  9. {2,1,1}
  10. {3,2,2,1,1}
  11. {4,3,3,2,2,1,1}
  12. {5,4,4,3,3,2,2,1,1}
  13. {6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
  14. {7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
  15. {8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
  16. {9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
  17. {10,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
  18. {11,10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
  19. {12,11,11,10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
  20. {13,12,12,11,11,10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}

复制代码
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王守恩
发表于 2020-3-9 07:37:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-3-9 07:54 编辑
dlpg070 发表于 2020-3-8 08:42
用A[n_, k_]最简单,下面是Mathematica代码,验证无误
c++ ,和 Mathematica 数组开始下标不同,公式略有 ...


憋了好几天，这个什么“东东”不会用。
A(1)=1
A(2)=1
A(3)=2
A(4)=2+1-1=2
A(5)=2+2-1=3
A(6)=3+2-2=3
A(7)=3+3-2=4
A(8)=4+3-3=4
A(9)=4+4-3=5
........
A(n)=A(n-1)+A(n-2)-A(n-3)
后面您是怎么把她们粘在一起的？

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dlpg070
你会用Mathematica,运行23#代码试一试就明白了,代码很简单,只有3行  发表于 2020-3-9 08:27
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王守恩
发表于 2020-3-9 08:44:34 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-3-9 07:37
憋了好几天，这个什么“东东”不会用。
A(1)=1
A(2)=1

都可以用吗？

13, 2413, 352413, 46352413, 5746352413, .......
1, 11, 112, 1123, 11235, 112358, 11235813, ......

点评

王守恩
23#能把 25#揪出来吗？  发表于 2020-3-9 16:40
dlpg070
23#的代码和10# 11#等价,能运行23#就好  发表于 2020-3-9 15:06
王守恩
我这里 23#,是22#可以出来，10# ,11#出不来了？  发表于 2020-3-9 13:55
dlpg070
不是23#,是22#  发表于 2020-3-9 12:45
dlpg070
为了满足你的好奇心,我23#编写了一段代码,但是数列通项 应该用 northwolves 在10# ,11# 给出的通项公式 一般不是用你的数字形式  发表于 2020-3-9 12:42
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dlpg070
 楼主| 发表于 2020-3-9 18:17:08 | 显示全部楼层
有了A[n,k],没必要使用你的数字法
但考虑到你的爱好,憋了好几天，这个什么“东东”不会用
现在用A[n,k]编码如下


  2. A[n_, k_] := A[n, k] = Sign[k]*(n - Floor[k/2]);
  3. awA[n_]:= awA[n]=Module[{sum=0,ilen=0},
  4. Do[sum=sum*10^(IntegerLength[A[n,k]])+A[n,k],
  5. {k,1,2*n-1}];
  6. sum
  7. ];
  8. twa=Table[awA[n],{n,1,13}];
  9. Column[twa,Left]
复制代码

输出: 与22#相同
1
211
32211
4332211
544332211
65544332211
7665544332211
877665544332211
98877665544332211
10998877665544332211
111010998877665544332211
1211111010998877665544332211
13121211111010998877665544332211

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dlpg070
 楼主| 发表于 2020-3-10 09:19:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-3-10 15:00 编辑

1#的我信手按回文展开得到的数列
northwolves 在10# ,11# 给出了通项公式
23# 给出了 A[n,k] 公式
下面给出我认为有趣的原因,希望专家指点迷津:
1#数列在OEIS中查不到
但是如果在OEIS中查找
给定n的数列 则有许多
例如 n=4: 4,3,3,2,2,1,1
49个结果
对于任意的n(<10),都可以找到,大大意外
它们有什么关系?
------------------
我们看2个典型的数列:

例1:A194543 Triangle T (n, k), n >= 0, 0 <= k <= n,
            read by rows :
            T (n, k) is the number of partitions of n
            into parts p_i such that |p_i - p_j | >= k for i != j.
  代码:
  1. Clear["Global`*"]
  2. b[n_,i_,k_]:=b[n,i,k]=If[n<0,0,If[n==0,1,
  3. Sum[b[n-i-j,i+j,k],{j,k,n-i}]]];
  4. T[n_,k_]:=If[n==0,1,0]+Sum[b[n-i,i,k],{i,1,n}];
  5. t=Table[Table[T[n,k],{k,0,n}],{n,0,30}];
  6. (*//Flatten *)
  7. (*Jean-Fran?ois Alcover,Jan 19 2015,after Alois P.Heinz*)
  8. Column[t,Left]  
复制代码

  结果
{1}
{1,1}
{2,1,1}
{[3,2,1,1}
{5,2,2,1,1}
{7,3,2,2,1,1}
{11,4,3,2,2,1,1}
{15,5,3,3,2,2,1,1}
{22,6,4,3,3,2,2,1,1}
{30,8,5,4,3,3,2,2,1,1}
{42,10,6,4,4,3,3,2,2,1,1}
{56,12,7,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{77,15,9,6,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{101,18,10,7,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{135,22,12,8,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{176,27,14,10,7,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{231,32,17,11,8,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{297,38,19,13,9,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{385,46,23,15,11,8,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{490,54,26,17,12,9,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{627,64,31,19,14,10,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{792,76,35,22,16,12,9,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{1002,89,41,25,18,13,10,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{1255,104,46,28,20,15,11,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{1575,122,54,32,23,17,13,10,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{1958,142,61,36,25,19,14,11,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{2436,165,70,41,28,21,16,12,10,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{3010,192,79,46,31,24,18,14,11,10,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{3718,222,91,52,35,26,20,15,12,10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{4565,256,102,58,38,29,22,17,13,11,10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}
{5604,296,117,66,43,32,25,19,15,12,11,10,10,9,9,8,8,7,7,6,6,5,5,4,4,3,3,2,2,1,1}

包含1#数列的各个子数列,谁能解其中奥妙?
  如 2,1,1
     3,2,2,1,1
     ---
     10,9,9,8,8,---,2,2,1,1
---
例1:A063995 Irregular triangle read by rows :
            T (n, k), n >= 1, -(n - 1) <= k <= n - 1, =
            number of partitions of n with rank k
            
代码:
  1. t=Table[Count[(First[#]-Length[#]&/@IntegerPartitions[k]),#]&/@Range[-k+1,k-1],{k,16}];
  2. Column[t,Center]
  3. Column[t,Left]
复制代码

       

结果:
{1}
{1,0,1}
{1,0,1,0,1}
{1,0,1,1,1,0,1}
{1,0,1,1,1,1,1,0,1}
{1,0,1,1,2,1,2,1,1,0,1}
{1,0,1,1,2,1,3,1,2,1,1,0,1}
{1,0,1,1,2,2,3,2,3,2,2,1,1,0,1}
{1,0,1,1,2,2,3,3,4,3,3,2,2,1,1,0,1}
{1,0,1,1,2,2,4,3,5,4,5,3,4,2,2,1,1,0,1}
{1,0,1,1,2,2,4,3,6,5,6,5,6,3,4,2,2,1,1,0,1}
{1,0,1,1,2,2,4,4,6,6,8,7,8,6,6,4,4,2,2,1,1,0,1}
{1,0,1,1,2,2,4,4,6,7,9,8,11,8,9,7,6,4,4,2,2,1,1,0,1}
{1,0,1,1,2,2,4,4,7,7,10,10,13,11,13,10,10,7,7,4,4,2,2,1,1,0,1}
{1,0,1,1,2,2,4,4,7,7,11,11,15,14,16,14,15,11,11,7,7,4,4,2,2,1,1,0,1}
{1,0,1,1,2,2,4,4,7,8,11,12,17,16,20,19,20,16,17,12,11,8,7,4,4,2,2,1,1,0,1}
----------
The partition 5 = 4+1 has largest summand 4 and 2 summands, hence has rank 4-2 = 2.

Triangle begins:

[ 1]                               1,

[ 2]                            1, 0, 1,

[ 3]                         1, 0, 1, 0, 1,

[ 4]                      1, 0, 1, 1, 1, 0, 1,

[ 5]                   1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1,

[ 6]                1, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 1,

[ 7]             1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 1, 0, 1,

[ 8]          1, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 0, 1,

[ 9]       1, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 0, 1,

[10]    1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 3, 5, 4, 5, 3, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 1,

[11] 1, 0, 1, 1, 2, ...


这个数列输出对称,含有许多 4,3,3,2,2,1,1等
左侧是反向排列1,1,2,2,3,3,4 等
没想到此数列最新修改 Jan 23 2020

没想到 11 22 33 44 或44 33 22 11 有这么奇妙!
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王守恩
发表于 2020-3-10 18:29:59 | 显示全部楼层
aimisiyou 发表于 2020-2-25 22:52
没看懂啥意思。

题目看懂了,可以有吗？
A(01)=1
A(02)=112
A(03)=11223
A(04)=1122334
A(05)=112233445
A(06)=11223344556
A(07)=1122334455667
A(08)=112233445566778
A(09)=11223344556677889
A(10)=11223344556677889910
A(11)=112233445566778899101011
A(12)=1122334455667788991010111112
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dlpg070
 楼主| 发表于 2020-3-11 07:33:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 dlpg070 于 2020-3-11 07:35 编辑
王守恩 发表于 2020-3-10 18:29
题目看懂了,可以有吗？
A(01)=1
A(02)=112


当然可以有
参见
https://oeis.org/A004526        Nonnegative integers repeated, floor(n/2).
https://oeis.org/A008619        Positive integers repeated.

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王守恩 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 谢谢！可以有 28#的通项公式吗？

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王守恩
发表于 2020-3-17 14:19:16 | 显示全部楼层
dlpg070 发表于 2020-3-11 07:33
当然可以有
参见
https://oeis.org/A004526        Nonnegative integers repeated, floor(n/2).


跟主帖不太一样，可以有通项公式吗？
A(01)=1
A(02)=112
A(03)=11223
A(04)=1122334
A(05)=112233445
A(06)=11223344556
A(07)=1122334455667
A(08)=112233445566778
A(09)=11223344556677889
A(10)=11223344556677889910
A(11)=112233445566778899101011
A(12)=1122334455667788991010111112
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