向量组与向量组之间的正交化

zeroieme

kastin 发表于 2020-3-18 21:50
你能举个例子试试吗？我感觉我理解的应该没错。

我找了两个带重根特征值 \(\lambda_3=\lambda_4\)的4X4矩阵，Mathematica给出的重根特征向量均为\(\boldsymbol x^{(3)}\)为一般向量，\(\boldsymbol x^{(4)}\)为0向量。

是Mathematica的问题还是数学上就是如此？

kastin

zeroieme 发表于 2020-3-18 23:30
我找了两个带重根特征值 \(\lambda_3=\lambda_4\)的4X4矩阵，Mathematica给出的重根特征向量均为\(\bolds ...

你输入的是对称矩阵还是一般矩阵？

zeroieme

kastin 发表于 2020-3-19 13:04
你输入的是对称矩阵还是一般矩阵？

先是一般矩阵接着试对称矩阵

zeroieme

找到了重根特征值的特征向量均为非0向量的矩阵。
\(\left(
\begin{array}{cccc}
0 & -1 & -1 & -1 \\
-1 & 3 & -1 & 0 \\
-1 & -1 & 4 & -1 \\
-1 & 0 & -1 & 3 \\
\end{array}
\right)\)

其实取决于矩阵自身性质。\((A-\lambda I)x=0\)代入指定特征值后，实质是一线性方程组\(B x=0\)，其中\(B=(A-\lambda_i I)x\)。
当B的秩为n-1时，解x为带一线性系数的一自由度向量。这是普通单根特征值的情况。不知道是好运还是霉运，前几晚的重根特征值恰好也是代入重根时的秩仍为n-1，所以两特征向量必然一个是0向量。而今天的这个例子代入重根时的秩为n-2，得到两非0正交向量。