已知圆O外两点A与B，圆上的点P，如何求PA+PB的最小值？

dlpg070

hejoseph 发表于 2020-5-11 12:33
那个方程有四个正数解，近似值从小到大排列分别是0.4206925835，2.196613573，4.11127023，7.035294141， ...

特别高兴,我的计算结果和你完全相同,
但方程解似乎不对,那个方程对吗?
除了P点以外,还研究了费马点,记为F点,角平分线与园的交点,记为N
此题P F N    特别接近,但不同
ra=2.23607 ta=0.463648
rb=3.16228 tb=1.89255
pA={2,1} pB={-1,3} pO={0,0}
pP={0.437737,0.899103} 极坐标:{1.,1.11772}
pF={0.430739,0.887332} 极坐标:{0.986354,1.11887}
pN={0.382683,0.92388} 极坐标:{1.,1.1781}
OA=2.23607 OB=3.16228 OP=1.

PA=1.56552 PB=2.54575 AB=3.60555 PO=1. PA+PB=4.11127
APO=119.655 BPO=119.655 APB=120.69 APO+BPO+APB=360.

FA=1.5733 FB=2.55154 FO=0.986354 FA+FB=4.12484
AFO=120. BFO=120. AFB=120. AFO+BFO+AFB=360.

NA=1.61911 NB=2.49441 NO=1. NA+NB=4.11352
ANO=115.195 BNO=123.837 ANB=120.969 ANO+BNO+ANB=360.

最大值 PA+PBmax=7.03529 tmax=249.408 pQ:{-0.351704,-0.936111}

解方程 实数解{{t->-2.16627},{t->-0.431738},{t->0.431738},{t->2.16627}}

数学星空

对于一般情况：

设单位圆\(x^2+y^2=1\)上一点\(P\)到已知点\(A[x1,y1],B[x2,y2]\)的距离和\(PA+PB=L\)的极值满足方程

16*(x1^2*x2^2 + x1^2*y2^2 + x2^2*y1^2 + y1^2*y2^2 - 2*x1*x2 - 2*y1*y2 + 1)*(x1^4 - 2*x1^2*x2^2 + 2*x1^2*y1^2 - 2*x1^2*y2^2 + x2^4 - 2*x2^2*y1^2 + 2*x2^2*y2^2 + y1^4 - 2*y1^2*y2^2 + y2^4 - 4*x1^2 + 8*x1*x2 - 4*x2^2 - 4*y1^2 + 8*y1*y2 - 4*y2^2)^2 + (-64*x1^8*x2^2 - 64*x1^8*y2^2 + 64*x1^6*x2^4 - 256*x1^6*x2^2*y1^2 + 128*x1^6*x2^2*y2^2 - 256*x1^6*y1^2*y2^2 + 64*x1^6*y2^4 + 64*x1^4*x2^6 + 192*x1^4*x2^4*y1^2 + 192*x1^4*x2^4*y2^2 - 384*x1^4*x2^2*y1^4 + 384*x1^4*x2^2*y1^2*y2^2 + 192*x1^4*x2^2*y2^4 - 384*x1^4*y1^4*y2^2 + 192*x1^4*y1^2*y2^4 + 64*x1^4*y2^6 - 64*x1^2*x2^8 + 128*x1^2*x2^6*y1^2 - 256*x1^2*x2^6*y2^2 + 192*x1^2*x2^4*y1^4 + 384*x1^2*x2^4*y1^2*y2^2 - 384*x1^2*x2^4*y2^4 - 256*x1^2*x2^2*y1^6 + 384*x1^2*x2^2*y1^4*y2^2 + 384*x1^2*x2^2*y1^2*y2^4 - 256*x1^2*x2^2*y2^6 - 256*x1^2*y1^6*y2^2 + 192*x1^2*y1^4*y2^4 + 128*x1^2*y1^2*y2^6 - 64*x1^2*y2^8 - 64*x2^8*y1^2 + 64*x2^6*y1^4 - 256*x2^6*y1^2*y2^2 + 64*x2^4*y1^6 + 192*x2^4*y1^4*y2^2 - 384*x2^4*y1^2*y2^4 - 64*x2^2*y1^8 + 128*x2^2*y1^6*y2^2 + 192*x2^2*y1^4*y2^4 - 256*x2^2*y1^2*y2^6 - 64*y1^8*y2^2 + 64*y1^6*y2^4 + 64*y1^4*y2^6 - 64*y1^2*y2^8 + 96*x1^7*x2 + 64*x1^6*x2^2 + 96*x1^6*y1*y2 + 64*x1^6*y2^2 + 416*x1^5*x2^3 + 288*x1^5*x2*y1^2 + 416*x1^5*x2*y2^2 - 1152*x1^4*x2^4 + 192*x1^4*x2^2*y1^2 + 416*x1^4*x2^2*y1*y2 - 2304*x1^4*x2^2*y2^2 + 288*x1^4*y1^3*y2 + 192*x1^4*y1^2*y2^2 + 416*x1^4*y1*y2^3 - 1152*x1^4*y2^4 + 416*x1^3*x2^5 + 832*x1^3*x2^3*y1^2 + 832*x1^3*x2^3*y2^2 + 288*x1^3*x2*y1^4 + 832*x1^3*x2*y1^2*y2^2 + 416*x1^3*x2*y2^4 + 64*x1^2*x2^6 - 2304*x1^2*x2^4*y1^2 + 416*x1^2*x2^4*y1*y2 + 192*x1^2*x2^4*y2^2 + 192*x1^2*x2^2*y1^4 + 832*x1^2*x2^2*y1^3*y2 - 4608*x1^2*x2^2*y1^2*y2^2 + 832*x1^2*x2^2*y1*y2^3 + 192*x1^2*x2^2*y2^4 + 288*x1^2*y1^5*y2 + 192*x1^2*y1^4*y2^2 + 832*x1^2*y1^3*y2^3 - 2304*x1^2*y1^2*y2^4 + 416*x1^2*y1*y2^5 + 64*x1^2*y2^6 + 96*x1*x2^7 + 416*x1*x2^5*y1^2 + 288*x1*x2^5*y2^2 + 416*x1*x2^3*y1^4 + 832*x1*x2^3*y1^2*y2^2 + 288*x1*x2^3*y2^4 + 96*x1*x2*y1^6 + 416*x1*x2*y1^4*y2^2 + 416*x1*x2*y1^2*y2^4 + 96*x1*x2*y2^6 + 64*x2^6*y1^2 + 96*x2^6*y1*y2 - 1152*x2^4*y1^4 + 416*x2^4*y1^3*y2 + 192*x2^4*y1^2*y2^2 + 288*x2^4*y1*y2^3 + 64*x2^2*y1^6 + 416*x2^2*y1^5*y2 - 2304*x2^2*y1^4*y2^2 + 832*x2^2*y1^3*y2^3 + 192*x2^2*y1^2*y2^4 + 288*x2^2*y1*y2^5 + 96*y1^7*y2 + 64*y1^6*y2^2 + 416*y1^5*y2^3 - 1152*y1^4*y2^4 + 416*y1^3*y2^5 + 64*y1^2*y2^6 + 96*y1*y2^7 - 32*x1^6 + 64*x1^5*x2 - 1504*x1^4*x2^2 - 96*x1^4*y1^2 + 64*x1^4*y1*y2 - 224*x1^4*y2^2 + 2944*x1^3*x2^3 + 128*x1^3*x2*y1^2 - 2560*x1^3*x2*y1*y2 + 2944*x1^3*x2*y2^2 - 1504*x1^2*x2^4 - 1728*x1^2*x2^2*y1^2 + 2944*x1^2*x2^2*y1*y2 - 1728*x1^2*x2^2*y2^2 - 96*x1^2*y1^4 + 128*x1^2*y1^3*y2 - 1728*x1^2*y1^2*y2^2 + 2944*x1^2*y1*y2^3 - 224*x1^2*y2^4 + 64*x1*x2^5 + 2944*x1*x2^3*y1^2 - 2560*x1*x2^3*y1*y2 + 128*x1*x2^3*y2^2 + 64*x1*x2*y1^4 - 2560*x1*x2*y1^3*y2 + 2944*x1*x2*y1^2*y2^2 - 2560*x1*x2*y1*y2^3 + 64*x1*x2*y2^4 - 32*x2^6 - 224*x2^4*y1^2 + 64*x2^4*y1*y2 - 96*x2^4*y2^2 - 224*x2^2*y1^4 + 2944*x2^2*y1^3*y2 - 1728*x2^2*y1^2*y2^2 + 128*x2^2*y1*y2^3 - 96*x2^2*y2^4 - 32*y1^6 + 64*y1^5*y2 - 1504*y1^4*y2^2 + 2944*y1^3*y2^3 - 1504*y1^2*y2^4 + 64*y1*y2^5 - 32*y2^6 - 128*x1^4 + 1024*x1^3*x2 - 1792*x1^2*x2^2 - 256*x1^2*y1^2 + 1024*x1^2*y1*y2 - 1280*x1^2*y2^2 + 1024*x1*x2^3 + 1024*x1*x2*y1^2 - 1024*x1*x2*y1*y2 + 1024*x1*x2*y2^2 - 128*x2^4 - 1280*x2^2*y1^2 + 1024*x2^2*y1*y2 - 256*x2^2*y2^2 - 128*y1^4 + 1024*y1^3*y2 - 1792*y1^2*y2^2 + 1024*y1*y2^3 - 128*y2^4)*L^2 + (96*x1^6*x2^2 + 96*x1^6*y2^2 + 64*x1^4*x2^4 + 288*x1^4*x2^2*y1^2 + 128*x1^4*x2^2*y2^2 + 288*x1^4*y1^2*y2^2 + 64*x1^4*y2^4 + 96*x1^2*x2^6 + 128*x1^2*x2^4*y1^2 + 288*x1^2*x2^4*y2^2 + 288*x1^2*x2^2*y1^4 + 256*x1^2*x2^2*y1^2*y2^2 + 288*x1^2*x2^2*y2^4 + 288*x1^2*y1^4*y2^2 + 128*x1^2*y1^2*y2^4 + 96*x1^2*y2^6 + 96*x2^6*y1^2 + 64*x2^4*y1^4 + 288*x2^4*y1^2*y2^2 + 96*x2^2*y1^6 + 128*x2^2*y1^4*y2^2 + 288*x2^2*y1^2*y2^4 + 96*y1^6*y2^2 + 64*y1^4*y2^4 + 96*y1^2*y2^6 - 96*x1^5*x2 + 256*x1^4*x2^2 - 96*x1^4*y1*y2 + 256*x1^4*y2^2 - 832*x1^3*x2^3 - 192*x1^3*x2*y1^2 - 832*x1^3*x2*y2^2 + 256*x1^2*x2^4 + 512*x1^2*x2^2*y1^2 - 832*x1^2*x2^2*y1*y2 + 512*x1^2*x2^2*y2^2 - 192*x1^2*y1^3*y2 + 512*x1^2*y1^2*y2^2 - 832*x1^2*y1*y2^3 + 256*x1^2*y2^4 - 96*x1*x2^5 - 832*x1*x2^3*y1^2 - 192*x1*x2^3*y2^2 - 96*x1*x2*y1^4 - 832*x1*x2*y1^2*y2^2 - 96*x1*x2*y2^4 + 256*x2^4*y1^2 - 96*x2^4*y1*y2 + 256*x2^2*y1^4 - 832*x2^2*y1^3*y2 + 512*x2^2*y1^2*y2^2 - 192*x2^2*y1*y2^3 - 96*y1^5*y2 + 256*y1^4*y2^2 - 832*y1^3*y2^3 + 256*y1^2*y2^4 - 96*y1*y2^5 + 16*x1^4 - 320*x1^3*x2 + 864*x1^2*x2^2 + 32*x1^2*y1^2 - 320*x1^2*y1*y2 + 800*x1^2*y2^2 - 320*x1*x2^3 - 320*x1*x2*y1^2 + 128*x1*x2*y1*y2 - 320*x1*x2*y2^2 + 16*x2^4 + 800*x2^2*y1^2 - 320*x2^2*y1*y2 + 32*x2^2*y2^2 + 16*y1^4 - 320*y1^3*y2 + 864*y1^2*y2^2 - 320*y1*y2^3 + 16*y2^4)*L^4 + (-64*x1^4*x2^2 - 64*x1^4*y2^2 - 64*x1^2*x2^4 - 128*x1^2*x2^2*y1^2 - 128*x1^2*x2^2*y2^2 - 128*x1^2*y1^2*y2^2 - 64*x1^2*y2^4 - 64*x2^4*y1^2 - 64*x2^2*y1^4 - 128*x2^2*y1^2*y2^2 - 64*y1^4*y2^2 - 64*y1^2*y2^4 + 32*x1^3*x2 - 192*x1^2*x2^2 + 32*x1^2*y1*y2 - 192*x1^2*y2^2 + 32*x1*x2^3 + 32*x1*x2*y1^2 + 32*x1*x2*y2^2 - 192*x2^2*y1^2 + 32*x2^2*y1*y2 + 32*y1^3*y2 - 192*y1^2*y2^2 + 32*y1*y2^3)*L^6 + 16*(x1^2 + y1^2)*(x2^2 + y2^2)*L^8=0

代入例子：

{ x1 = 2, x2 = -1, y1 = 1, y2 = 3}

得到：16*（50*L^8 - 3570*L^6 + 58479*L^4 - 212072*L^2 + 35721）=0

一般通过旋转和平移坐标轴，可以使得y1=y2=y 代入可以得到

16*(x1^2*x2^2 + x1^2*y^2 + x2^2*y^2 + y^4 - 2*x1*x2 - 2*y^2 + 1)*(x1^4 - 2*x1^2*x2^2 + x2^4 - 4*x1^2 + 8*x1*x2 - 4*x2^2)^2 + (-64*x1^8*x2^2 - 64*x1^8*y^2 + 64*x1^6*x2^4 - 128*x1^6*x2^2*y^2 - 192*x1^6*y^4 + 64*x1^4*x2^6 + 384*x1^4*x2^4*y^2 + 192*x1^4*x2^2*y^4 - 128*x1^4*y^6 - 64*x1^2*x2^8 - 128*x1^2*x2^6*y^2 + 192*x1^2*x2^4*y^4 + 256*x1^2*x2^2*y^6 - 64*x2^8*y^2 - 192*x2^6*y^4 - 128*x2^4*y^6 + 96*x1^7*x2 + 64*x1^6*x2^2 + 160*x1^6*y^2 + 416*x1^5*x2^3 + 704*x1^5*x2*y^2 - 1152*x1^4*x2^4 - 1696*x1^4*x2^2*y^2 - 256*x1^4*y^4 + 416*x1^3*x2^5 + 1664*x1^3*x2^3*y^2 + 1536*x1^3*x2*y^4 + 64*x1^2*x2^6 - 1696*x1^2*x2^4*y^2 - 2560*x1^2*x2^2*y^4 - 512*x1^2*y^6 + 96*x1*x2^7 + 704*x1*x2^5*y^2 + 1536*x1*x2^3*y^4 + 1024*x1*x2*y^6 + 160*x2^6*y^2 - 256*x2^4*y^4 - 512*x2^2*y^6 - 32*x1^6 + 64*x1^5*x2 - 1504*x1^4*x2^2 - 256*x1^4*y^2 + 2944*x1^3*x2^3 + 512*x1^3*x2*y^2 - 1504*x1^2*x2^4 - 512*x1^2*x2^2*y^2 + 1024*x1^2*y^4 + 64*x1*x2^5 + 512*x1*x2^3*y^2 - 2048*x1*x2*y^4 - 32*x2^6 - 256*x2^4*y^2 + 1024*x2^2*y^4 - 128*x1^4 + 1024*x1^3*x2 - 1792*x1^2*x2^2 - 512*x1^2*y^2 + 1024*x1*x2^3 + 1024*x1*x2*y^2 - 128*x2^4 - 512*x2^2*y^2)*L^2 + (96*x1^6*x2^2 + 96*x1^6*y^2 + 64*x1^4*x2^4 + 416*x1^4*x2^2*y^2 + 352*x1^4*y^4 + 96*x1^2*x2^6 + 416*x1^2*x2^4*y^2 + 832*x1^2*x2^2*y^4 + 512*x1^2*y^6 + 96*x2^6*y^2 + 352*x2^4*y^4 + 512*x2^2*y^6 + 256*y^8 - 96*x1^5*x2 + 256*x1^4*x2^2 + 160*x1^4*y^2 - 832*x1^3*x2^3 - 1024*x1^3*x2*y^2 + 256*x1^2*x2^4 + 192*x1^2*x2^2*y^2 - 256*x1^2*y^4 - 96*x1*x2^5 - 1024*x1*x2^3*y^2 - 1024*x1*x2*y^4 + 160*x2^4*y^2 - 256*x2^2*y^4 - 512*y^6 + 16*x1^4 - 320*x1^3*x2 + 864*x1^2*x2^2 + 512*x1^2*y^2 - 320*x1*x2^3 - 512*x1*x2*y^2 + 16*x2^4 + 512*x2^2*y^2 + 256*y^4)*L^4 + (-64*x1^4*x2^2 - 64*x1^4*y^2 - 64*x1^2*x2^4 - 256*x1^2*x2^2*y^2 - 192*x1^2*y^4 - 64*x2^4*y^2 - 192*x2^2*y^4 - 128*y^6 + 32*x1^3*x2 - 192*x1^2*x2^2 - 160*x1^2*y^2 + 32*x1*x2^3 + 64*x1*x2*y^2 - 160*x2^2*y^2 - 128*y^4)*L^6 + 16*(x1^2 + y^2)*(x2^2 + y^2)*L^8=0

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-5-11 16:17
特别高兴,我的计算结果和你完全相同,
但方程解似乎不对,那个方程对吗?
除了P点以外,还研究了费马点, ...

我解方程时系数确实有手误,修正后,计算表明:
hejoseph方程正确无误
第7项 对应最小值
第8项 对应最大值


解hejoseph方程 实数解{{t->-7.03529},{t->-4.11127},{t->-2.19661},{t->-0.420693},{t->0.420693},{t->2.19661},{t->4.11127},{t->7.03529}}

dlpg070

dlpg070 发表于 2020-5-12 10:17
我解方程时系数确实有手误,修正后,计算表明:
hejoseph方程正确无误
第7项 对应最小值

关于尺规作图:
1 当OAB是等腰三角形 OA=OB>=1.2时 可以尺规作图
   
  2种方法
  1 先尺规作图得到费马点F1,再连接O F1,交园于 F 点
  2 尺规作图得角AOB的角分线,与圆的交点得     N 点
  F,N 即 P
2 A B 接近单位园时,有2个最小值点,不能尺规作图
3 其他许多一个最小值的情形也不能尺规作图
  最小值是否存在? 只要OAB能构成三角形,一定有1个或2个最小值
  
2个能尺规作图的例子
1  
图形文件:最小值例题4_60_2_2-20200508.png(含曲线,1个最小值)

ra=2. ta=0. 0.度
rb=2. tb=1.0472 60.度
pA={2,0} pB={1,Sqrt[3]} pO={0,0}
pP={0.866025,0.5} 极坐标:{1.,0.523599} 30.度
pF={0.866025,0.5} 极坐标:{1,0.523599} 30.度
pN={0.866025,0.5} 极坐标:{1.,0.523599} 30.度
OA=2. OB=2. OP=1.
2
图形文件:最小值_80_2_2_202000508.png(含曲线)
ra=2. ta=0. 0.度
rb=2. tb=1.39626 80.度
pA={2,0} pB={2 Sin[\[Pi]/18],2 Cos[\[Pi]/18]} pO={0,0}
pP={0.766044,0.642788} 极坐标:{1.,0.698132} 40.度
pF={0.766044,0.642788} 极坐标:{1,0.698132} 40.度
pN={0.766044,0.642788} 极坐标:{1.,0.698132} 40.度
OA=2. OB=2. OP=1.

数学星空

为了简化计算表达式，我们可以将\(A[x_1,y_1],B[x_2,y_2]\),圆心O[0,0],半径定义为r(本贴r=1)

重新建立坐标系：AB为X轴，通过圆心O并垂直于AB为Y轴，并设

\(OA=a,OB=b,AB=c\)

显然问题转化为在三角形ABO中，以O为圆心，半径为r的圆弧上找到一点P使PA+PB=L最小?

首先我们有：

\(a=\sqrt{x_2^2 + y_2^2}, b=\sqrt{x_1^2 + y_1^2}, c=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

设\(PA=x,PB=y,OP=z=r\)

然后根据三角形内一点P满足的关系式

\((-a^2 + y^2 + z^2)^2x^2 + (-b^2 + x^2 + z^2)^2y^2 + (-c^2 + x^2 + y^2)^2z^2 - (-a^2 + y^2 + z^2)(-b^2 + x^2 + z^2)(-c^2 + x^2 + y^2) - 4x^2y^2z^2=0\)

我们很容易求得L取极值时：

\(x\)满足的方程：

\(-a^2x^8 + (4a^2b^2 + a^2r^2 - b^2r^2 + c^2r^2)x^6 + (-6a^2b^4 + a^2b^2r^2 + a^2r^4 + 3b^4r^2 - 3b^2c^2r^2 + b^2r^4 - 2c^2r^4)x^4 + (a^4r^4 + 4a^2b^6 - 5a^2b^4r^2 - 2a^2c^2r^4 - a^2r^6 - 3b^6r^2 + 3b^4c^2r^2 + 3b^4r^4 - 2b^2c^2r^4 + b^2r^6 + c^4r^4 + c^2r^6)x^2 - a^2b^8 + 3a^2b^6r^2 - 3a^2b^4r^4 + a^2b^2r^6 + b^8r^2 - b^6c^2r^2 - 3b^6r^4 + 2b^4c^2r^4 + 3b^4r^6 - b^2c^2r^6 - b^2r^8=0\)

\(y\)满足的方程：

\(b^2y^8 + (-4a^2b^2 + a^2r^2 - b^2r^2 - c^2r^2)y^6 + (6a^4b^2 - 3a^4r^2 - a^2b^2r^2 + 3a^2c^2r^2 - a^2r^4 - b^2r^4 + 2c^2r^4)y^4 + (-4a^6b^2 + 3a^6r^2 + 5a^4b^2r^2 - 3a^4c^2r^2 - 3a^4r^4 + 2a^2c^2r^4 - a^2r^6 - b^4r^4 + 2b^2c^2r^4 + b^2r^6 - c^4r^4 - c^2r^6)y^2 + a^8b^2 - a^8r^2 - 3a^6b^2r^2 + a^6c^2r^2 + 3a^6r^4 + 3a^4b^2r^4 - 2a^4c^2r^4 - 3a^4r^6 - a^2b^2r^6 + a^2c^2r^6 + a^2r^8=0\)

\(L\)满足的方程：

\(-2a^4b^6r^2 + 8a^6c^2r^4 - 8a^4c^4r^4 - 4a^2b^6r^4 + 3a^2b^8r^2 + 6a^4b^4r^4 - 8a^4c^2r^6 - 16a^2c^4r^6 + 8b^6c^2r^4 - 8b^4c^4r^4 - 8b^4c^2r^6 - 16b^2c^4r^6 + 3a^8b^2r^2 - 2a^6b^4r^2 - 4a^6b^2r^4 - 4a^8b^4 + 6a^6b^6 - 4a^4b^8 + 16c^6r^6 + 16c^4r^8 + b^8c^2r^2 + a^2b^2L^8 - 12a^6b^2c^2r^2 + 22a^4b^4c^2r^2 - 8a^4b^2c^2r^4 - 12a^2b^6c^2r^2 - 8a^2b^4c^2r^4 + 32a^2b^2c^4r^4 +
16a^2b^2c^2r^6 + a^8c^2r^2 + (-4a^4b^2 + a^4r^2 - 4a^2b^4 - 10a^2b^2r^2 - a^2c^2r^2 + b^4r^2 - b^2c^2r^2)L^6 + (6a^6b^2 - 3a^6r^2 + 4a^4b^4 - 13a^4b^2r^2 + 3a^4c^2r^2 - 8a^4r^4 + 6a^2b^6 - 13a^2b^4r^2 + 26a^2b^2c^2r^2 + 32a^2b^2r^4 + 8a^2c^2r^4 - 3b^6r^2 + 3b^4c^2r^2 - 8b^4r^4 + 8b^2c^2r^4 + c^4r^4)L^4 + (-4a^8b^2 + 3a^8r^2 + 4a^6b^4 + 20a^6b^2r^2 - 3a^6c^2r^2 - 20a^6r^4 + 4a^4b^6 -
46a^4b^4r^2 - 13a^4b^2c^2r^2 + 20a^4b^2r^4 + 38a^4c^2r^4 + 16a^4r^6 - 4a^2b^8 + 20a^2b^6r^2 - 13a^2b^4c^2r^2 + 20a^2b^4r^4 - 12a^2b^2c^2r^4 - 32a^2b^2r^6 - 20a^2c^4r^4 - 16a^2c^2r^6 + 3b^8r^2 - 3b^6c^2r^2 - 20b^6r^4 + 38b^4c^2r^4 + 16b^4r^6 - 20b^2c^4r^4 - 16b^2c^2r^6 - 8c^4r^6)L^2 + a^{10}b^2 - a^{10}r^2 + a^8r^4 + a^2b^{10} - b^{10}r^2 + b^8r^4=0\)

例：取\(x_1=2, x_2=-1, y_1=1, y_2=3，r=1\)

得到\(a=\sqrt{10},b=\sqrt{5},c=\sqrt{13}\)

\(-10x^8 + 218x^6 - 1581x^4 + 4312x^2 - 3920=0\)

\(5y^8 - 208y^6 + 3051y^4 - 18522y^2 + 39690=0\)

\(50L^8 - 3570L^6 + 58479L^4 - 212072L^2 + 35721=0\)

即\(x=1.565517648，y=2.545752583,L=4.111270231\)

更进一步，我们可以得到极值点的轨迹方程：\([x_0,y_0]\)为极值点

\(416x_0^3 - 559x_0^2y_0 + 416x_0y_0^2 - 559y_0^3 + 313x_0^2 - 270x_0y_0 + 3327y_0^2 - 2828x_0 - 6608y_0 + 6860=0\)

\(4x_0^3 - x_0^2y_0 + 4x_0y_0^2 - y_0^3 - 5x_0^2 - 10x_0y_0 + 5y_0^2=0\)

画图得到：（红色大圆点为费马点）