已知圆O外两点A与B，圆上的点P，如何求PA+PB的最小值？

mathematica

已知圆O外两点A与B，圆上的点P，如何求PA+PB的最小值？
这我在抖音上看到的问题，
有个人评论说，PA+PB，形成一簇簇椭圆，
然后当椭圆正好与圆相切的时候，PA+PB距离最小（也可能最大），
问题是如何用尺规作图的办法找到答案呢？

kastin

椭圆簇是一般情况，但还要考虑退化情形。

mathematica

kastin 发表于 2020-5-7 13:39
椭圆簇是一般情况，但还要考虑退化情形。

给点有用的回答吧，我想知道如何尺规作图

aimisiyou

若三角形OAB的费马点在圆上则此时ＰＡ＋ＰＢ最小。

dlpg070

aimisiyou 发表于 2020-5-9 07:39
若三角形OAB的费马点在圆上则此时ＰＡ＋ＰＢ最小。

你已经接近实现尺规作图,一步之遥
为了帮你尽快成功,提供一幅精确比例的图片
p在圆上转1周,PA+PB 形成心形线(橘红色)
P是最小值点
Q是最大值点
换了一张更清晰的图片

kastin

利用椭圆焦点光学性质，问题转化为找出P点，使得OP为角APB的角平分线即可。是否能尺规作图，取决于P点坐标与A、B点坐标之间的内在代数关系，如果存在立方根式且又无法开尽的，那么不可能尺规作图找出P点。

hejoseph

这个问题早就有定论了，一般是无法尺规作图完成的，例如单位圆 $x^2+y^2=1$ 上的点 $P$，$A(2,1)$，$B(-1,3)$，那么 $PA+PB$ 的最小值是方程
\[
35721 - 212072t^2 + 58479t^4 - 3570t^6 + 50t^8=0
\]
的根，这个方程的根不能尺规作图的。

dlpg070

hejoseph 发表于 2020-5-9 17:40
这个问题早就有定论了，一般是无法尺规作图完成的，例如单位圆 $x^2+y^2=1$ 上的点 $P$，$A(2,1)$，$B(-1,3 ...

我解方程 实数解{{t->-2.16627},{t->-0.431738},{t->0.431738},{t->2.16627}}
其中2个正数解,不知对否?好像数值小了,可能我的方程系数有手误?

mathematica

hejoseph 发表于 2020-5-9 17:40
这个问题早就有定论了，一般是无法尺规作图完成的，例如单位圆 $x^2+y^2=1$ 上的点 $P$，$A(2,1)$，$B(-1,3 ...

我看抖音上有人出这个题的，我以为有解的，所以到论坛上问一下！

hejoseph

dlpg070 发表于 2020-5-10 15:18
我解方程 实数解{{t->-2.16627},{t->-0.431738},{t->0.431738},{t->2.16627}}
其中2个正数解,不知对否? ...

那个方程有四个正数解，近似值从小到大排列分别是0.4206925835，2.196613573，4.11127023，7.035294141，但 $PA+PB$ 的最小值并不是最小的正根， $PA+PB$ 的最大值是这个方程的最大正根。