2014年广东高考题怎么做？

chyanog

1. GroebnerBasis[{x1^2/a^2+y1^2/b^2-1,x2^2/a^2+y2^2/b^2-1,(x1 x)/a^2+(y1 y)/b^2-1,(x2 x)/a^2+(y2 y)/b^2-1,(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)}//Together//Numerator,{x,y},{x1,y1,x2,y2},Method->"Buchberger"]//Factor

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Eliminate消元不如GroebnerBasis，尽量不用分式，这样可以秒出

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1. Unevaluated@Manipulate[Graphics[{Circle[{0,0},{a,b}],Blue,Line[{A,C,B}],Dashed,Orange,Line@Table[C,{t,0,t,t/90}]},PlotRange->Sqrt[a^2+b^2]+1],{t,0.001,2Pi}]//.
   
2. {a->3,b->2,A->{a Cos[t],b Sin[t]},B->{-((a^3 Sin[t])/u),(b^3 Cos[t])/u},C->{(a (b^2 Cos[t]-u Sin[t]))/v,(b (u Cos[t]+a^2 Sin[t]))/v},u->Sqrt[b^4 Cos[t]^2+a^4 Sin[t]^2],v->b^2 Cos[t]^2+a^2 Sin[t]^2}

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补充内容 (2020-5-15 21:37):
With[{a=3,b=2},{f={a Cos@#,b Sin@#}&,β=ArcTan[-a^2 Sin@α,b^2 Cos@α]},{A=f@α,B=f@β,C=Sec[(α-β)/2]f[(α+β)/2]},

补充内容 (2020-5-15 21:37):
Manipulate[Graphics[{Circle[{0,0},{a,b}],Line@{A,C,B},Line@Table[C,{α,0,α,α/90}]}],{α,.01,2π}]]

mathematica

chyanog 发表于 2020-5-14 21:28
Eliminate消元不如GroebnerBasis，尽量不用分式，这样可以秒出

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1. Clear["Global`*"];
   
2. ans=Solve[
   
3. {
   
4.     (*根据两个点来计算斜率，xy在椭圆上*)
   
5.     k==(y-yc)/(x-xc),
   
6.     (*利用椭圆上的点x y来表达斜率*)
   
7.     k==-b^2/a^2*x/y
   
8. },{x,y}]//FullSimplify
   
9. (*A点与B点都在椭圆上*)
   
10. aaa=Together[x*x/a^2+y*y/b^2-1/.ans[[1]]]
    
11. (*取得分子*)
    
12. bbb=Numerator[aaa]
    
13. (*提取多项式系数*)
    
14. ccc=CoefficientList[bbb,k]
    
15. (*按照韦达定理，乘积等于-1，得到常数项与二次项系数和等于零*)
    
16. ddd=ccc[[3]]+ccc[[1]]
    

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\[\left\{\left\{x\to \frac{a^2 k (k \text{xc}-\text{yc})}{a^2 k^2+b^2},y\to \frac{b^2 (\text{yc}-k \text{xc})}{a^2 k^2+b^2}\right\}\right\}\]

\[\frac{-a^2 k^2-b^2+k^2 \text{xc}^2-2 k \text{xc} \text{yc}+\text{yc}^2}{a^2 k^2+b^2}
\]

\[\left\{\text{yc}^2-b^2,-2 \text{xc} \text{yc},\text{xc}^2-a^2\right\}\]

\[-a^2-b^2+\text{xc}^2+\text{yc}^2=0
\]

mathematica

chyanog 发表于 2020-5-14 21:28
Eliminate消元不如GroebnerBasis，尽量不用分式，这样可以秒出

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我也想到了GroebnerBasis这个函数，
但是没想到用合并后用分子

mathematica

chyanog 发表于 2020-5-14 21:28
Eliminate消元不如GroebnerBasis，尽量不用分式，这样可以秒出

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你算出来的结果中
\[(a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - 2 a^2 x^2 + 2 b^2 x^2 + x^4 + 2 a^2 y^2 -
  2 b^2 y^2 + 2 x^2 y^2 + y^4)\]
这个多项式是什么意思？

mathematica

mathematica 发表于 2020-5-15 14:39
你算出来的结果中
\[(a^4 - 2 a^2 b^2 + b^4 - 2 a^2 x^2 + 2 b^2 x^2 + x^4 + 2 a^2 y^2 -
  2 b^2 y ...

这个表达式，似乎是椭圆的两个焦点，但是代表什么意义呢？

mathematica

chyanog 发表于 2020-5-14 21:28
Eliminate消元不如GroebnerBasis，尽量不用分式，这样可以秒出

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我觉得肯定不是增根，肯定有别的意义！

mathematica

chyanog 发表于 2020-5-14 21:28
Eliminate消元不如GroebnerBasis，尽量不用分式，这样可以秒出

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我拿a=3
b=2
算过，那个多项式解出来的结果正好是椭圆的两个焦点，
但是我不明白焦点为什么满足那些多项式，
当椭圆上的两个点重合，且c点也与这两个点重合的时候，
就会出现椭圆的方程在里求解的多项式里面，这就是那个椭圆的方程的意义

mathematica

mathematica 发表于 2020-5-15 14:35
\[\left\{\left\{x\to \frac{a^2 k (k \text{xc}-\text{yc})}{a^2 k^2+b^2},y\to \frac{b^2 (\text{y ...

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. ans=Solve[
   
3.     x^2/a^2+y^2/b^2==1&&(*点在椭圆上*)
   
4.     k==-b^2/a^2*x/y==(y-yc)/(x-xc),(*根据两点求出斜率，根据椭圆上的点写出这点的切线的斜率,这两个斜率都相等*)
   
5. {x,y,k}]//FullSimplify
   
6. Grid[ans,Alignment->Left]
   
7. (*两个斜率的乘积等于-1*)
   
8. Times@@(k/.ans)//FullSimplify
   

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方程组求解结果
\[\begin{array}{lll}
x\to \frac{a^2 \left(\text{yc} \sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}+b^4 \text{xc}^2\right)}{a^2 b^2 \text{xc} \text{yc}^2+b^4 \text{xc}^3} & y\to \frac{a^2 b^2 \text{yc}-\sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}}{a^2 \text{yc}^2+b^2 \text{xc}^2} & k\to \frac{\sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}+b^2 \text{xc}^2 \text{yc}}{b^2 \left(\text{xc}^3-a^2 \text{xc}\right)} \\
x\to \frac{a^2 \left(b^4 \text{xc}^2-\text{yc} \sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}\right)}{a^2 b^2 \text{xc} \text{yc}^2+b^4 \text{xc}^3} & y\to \frac{a^2 b^2 \text{yc}+\sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}}{a^2 \text{yc}^2+b^2 \text{xc}^2} & k\to \frac{b^2 \text{xc}^2 \text{yc}-\sqrt{a^2 b^4 \text{xc}^2 \left(\text{yc}^2-b^2\right)+b^6 \text{xc}^4}}{b^2 \left(\text{xc}^3-a^2 \text{xc}\right)} \\
\end{array}\]

斜率的乘积
\[\frac{b^2-\text{yc}^2}{a^2-\text{xc}^2}=-1\]