从一个点发射光入射到曲线上再反射到另一个点的曲线，一定是椭圆吗？

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-18 10:25
设 P(x,y)为这条曲线上一动点，`|PA|=\rho_1,|PB|=\rho_2`,
那么“从A点出发射出的光，入射到曲线上，再 ...

第一次遇到这么奇葩的证明。
反正以我的智商理解不了

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-18 10:25
设 P(x,y)为这条曲线上一动点，`|PA|=\rho_1,|PB|=\rho_2`,
那么“从A点出发射出的光，入射到曲线上，再 ...

我能看懂的就是你把上面的微分方程直接给解了！
但是我觉得那个微分方程很难解！

hujunhua

@mathematica 你可以再去看一遍光子之约，我进行了一些修改，更详细一些了。
“`\nabla\rho`有一个特殊的几何解释： ……, 上帝的秘密原来如此”部分，后面的都不必耽误您的时间去看了。

重点搞懂以下3点：
1、全微分`\dif\rho=\rho'_x\dif x+\rho'_y\dif y+\rho'_z\dif z=\nabla\rho\cdot\dif\vec s`(在平面上就没有 z 项了, 下同），基础概念搞明白了，就知道为什么直接积分就把微分方程给解了。
     其中梯度`\nabla\rho=\mathbb{i}\rho'_x+\mathbb{j}\rho'_y+\mathbb{k}\rho'_z，\dif\vec s=\mathbb{i}\dif x+\mathbb{j}\dif y+\mathbb{k}\dif z`。
2、表示曲线上反射定律的微分方程 `\tau_1\cdot\dif\vec s-\tau_2\cdot\dif\vec s=0`, 自己画一下图就明白了。向量点乘的几何或者物理意义你懂的。
3、"`\nabla\rho`有一个特殊的几何解释：……单位向量”，`\nabla\rho_1=\tau_1,\nabla\rho_2=-\tau_2`, 具体的计算我省略了，你动手计算一下就明白了。

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-18 16:29
@mathematica 你可以再去看一遍光子之约，我进行了一些修改，更详细一些了。
“`\nabla\rho`有一个特殊的 ...

差不多明白了！
感觉是对的，但是我还是很纠结我在上面推导出来的微分方程如何求解。

hujunhua

mathematica 发表于 2020-5-19 08:19
差不多明白了！
感觉是对的，但是我还是很纠结我在上面推导出来的微分方程如何求解。

那还是没明白。
既然你诚心诚意地问，我就尽心尽意写一个详细版本吧。咱避开那个装B符号`\nabla`。

为简明起见，用矢量形式。
动点`P(x,y)`记为`P=\mathbb{i}x+\mathbb{j}y`, 定点`A,B`我们改用符号`F_1,F_2`，也都表为相应的位置矢量。
记`\vec{\rho}_i=P-F_i,\D\rho_i=|\vec\rho_i|,\vec{\rho}_i^0=\frac{\vec{\rho}_i}{\rho_i}`（即单位向量也）.
曲线在 `P` 处有向弧长微分`\dif\vec s`即等于动点 `P`的位移微分 `\dif P`, 即 `\dif P=\dif\vec s`。
由 `\vec{\rho}_i=P-F_i`  两边微分又得   `\dif\vec\rho_i=\dif P=\dif\vec s`.
曲线在 `P` 处的切向量`\D t=\frac{\dif\vec s}{\dif s}`, (`\dif s`即弧长微分）。
按反射定律，我们的已知条件可以写成微分方程\[\begin{equation}\vec{\rho}_1^0\*t+\vec{\rho}_2^0\*t=0\end{equation}\]
由  `\rho_i^2=\vec\rho_i\*\vec\rho_i`  两边求导得\[\begin{equation}2\rho_i\frac{\dif\rho_i}{\dif s}=2\vec\rho_i\*\frac{\dif\vec\rho_i}{\dif s}\to\frac{\dif\rho_i}{\dif s}=\vec{\rho}_i^0\*t\end{equation}\] 代入 (2)式得\[\begin{equation}\frac{\dif\rho_1}{\dif s}+\frac{\dif\rho_2}{\dif s}=0\end{equation}\]最后写成微分形式 `\dif\rho_1+\dif\rho_2=0` 直接积分得   `\rho_1+\rho_2=C`.  妥妥的椭圆定义。

PS: (3)就是我说你要动手计算一下的内容。你说“差不多明白了”，“不多”的地方可能就在这里。

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-19 19:50
那还是没明白。
既然你诚心诚意地问，我就尽心尽意写一个详细版本吧。咱避开那个装B符号`\nabla`。

...

我纠结这个微分方程如何求解
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 465&fromuid=865
你这个我差不多明白了，但是我感觉要看点理论力学上的关于切向法向的微积分方面的知识。
让我纠结这个微分方程应该如何求解，按道理说，方程的解是存在的，但是我就不知道如何求解

zeus

我来尝试解一下这个微分方程：
令$ u = x^2 , z = y^2 $,  这样$ \frac{dy}{dx} = \frac{xdz}{ydu}$，代入即是
\[xy{\left( {\frac{{xdz}}{{ydu}}} \right)^2} + \left( {{x^2} - {y^2} - {c^2}} \right)\frac{{xdz}}{{ydu}} - xy = 0\]
可化简为
\[u{\left( {\frac{{dz}}{{du}}} \right)^2} + \left( {u - z - {c^2}} \right)\frac{{dz}}{{du}} - z = 0\]
再令$ p = \frac{dz}{du}$ , 并解出$z$,  $z = \frac{ - c^2p}{1 + p} + u p$
这个式子两端对u求导
\[p = p + u\frac{{dp}}{{du}} - \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {1 + p} \right)}^2}}}\frac{{dp}}{{du}}\]
恰好可因式分解
\[\left( {u - \frac{{{c^2}}}{{{{\left( {1 + p} \right)}^2}}}} \right)\frac{{dp}}{{du}} = 0\]
于是$p = u + c' $ 或 $u = \frac{c^2}{(1 + p)^2}$

hujunhua

动点`P(x,y)`, 焦点`F_1(-c,0),F_2(c,0)`
\[\vec\rho_1=\vec{F_1P}=(x+c,y),\rho_1=|\vec{\rho}_1|=\sqrt{(x+c)^2+y^2},\vec{\rho}_1^0=\frac{\vec\rho_1}{\rho_1}=\left(\frac{x+c}{\rho_1},\frac{y}{\rho_1}\right)\\
\vec\rho_2=\vec{F_2P}=(x-c,y),\rho_2=|\vec{\rho}_2|=\sqrt{(x-c)^2+y^2},\vec{\rho}_2^0=\frac{\vec\rho_2}{\rho_2}=\left(\frac{x-c}{\rho_2},\frac{y}{\rho_2}\right)\\
\dif\vec{s}=(dx,dy)\]
由反射定律得到微分方程\[(\vec{\rho}_1^0+\vec{\rho}_2^0)\*\dif\vec{s}=0\]即\[\left(\frac{x+c}{\rho_1}+\frac{x-c}{\rho_2},\frac{y}{\rho_1}+\frac{y}{\rho_2}\right)\*\dif\vec{s}=0\\
\left(x(\rho_1+\rho_2)+c(\rho_2-\rho_1),y(\rho_1+\rho_2)\right)\*\dif\vec{s}=0\\
\left(x+c\*\frac{\rho_2-\rho_1}{\rho_1+\rho_2},y\right)\*\dif\vec{s}=0\\
\left(x+c\*\frac{(\rho_2-\rho_1)^2}{\rho_2^2-\rho_1^2},y\right)\*\dif\vec{s}=0\\
\left(x-\frac{x^2+y^2+c^2-\rho_1\rho_2}{2x},y\right)\*\dif\vec{s}=0\\
\left(\rho_1\rho_2+x^2-y^2-c^2,2xy\right)\*\dif\vec{s}=0\\
(\rho_1\rho_2+x^2-y^2-c^2)\dif x+2xy\dif y=0\]
@mathematica `\rho_1\rho_2`就是你方程中的那个大根式，你看跟你的第1式是不是完全相同？你从尾部开始逆变回去，化成全微分积分不就解了方程吗？
你通过角度关系列的反射微分方程，解出来有增解（第2式），上面的向量投影方法避开了这个弯弯。