从一个点发射光入射到曲线上再反射到另一个点的曲线，一定是椭圆吗？

mathematica

从一个点发射光入射到曲线上再反射到另一个点的曲线，一定是椭圆吗？

我们知道椭圆有的性质就是从一个焦点，入射光，然后经过反射后，必然经过另一个焦点，

但是只有椭圆才具有这样的性质吗？

我用软件验证过了，椭圆确实具有这样的性质，但是具有这样性质的曲线一定就是椭圆吗？

倪举鹏

一定是

mathematica

倪举鹏 发表于 2020-5-15 19:45
一定是

我需要的是证明，不是结论

mathematica

倪举鹏 发表于 2020-5-15 19:45
一定是

1. Clear["Global`*"];
   
2. (*椭圆上的点与左边的焦点的连线所对应的斜率*)
   
3. k1=y/(x+c)
   
4. (*k表示椭圆上的点所在处的切线的斜率，则k2表示法线的斜率*)
   
5. k2=-1/k
   
6. (*椭圆上的点与右边的焦点的连线所对应的斜率*)
   
7. k3=y/(x-c)
   
8. (*左右斜率的倾角相加等于法线的倾角的两倍*)
   
9. (*化简，合并，提取分子*)
   
10. out=(k1+k3)/(1-k1*k3)-(k2+k2)/(1-k2*k2)//FullSimplify//Together//Numerator
    
11. (*求解出切线斜率，用x y来表达斜率，然后求解微分方程*)
    
12. Solve[out==0,{k}]//FullSimplify
    

复制代码

k表示dy/dx
表达式
\[\left\{\left\{k\to \frac{-\sqrt{\left(c^2-x^2+y^2\right)^2+4 x^2 y^2}+c^2-x^2+y^2}{2 x y}\right\},\left\{k\to \frac{\sqrt{\left(c^2-x^2+y^2\right)^2+4 x^2 y^2}+c^2-x^2+y^2}{2 x y}\right\}\right\}\]

还缺个初始条件，比如曲线上的某一点，比如这条曲线经过(0,a)
但是这个方程很难求解！
至少我不会求解

mathematica

mathematica 发表于 2020-5-16 10:46
k表示dy/dx
表达式
\[\left\{\left\{k\to \frac{-\sqrt{\left(c^2-x^2+y^2\right)^2+4 x^2 y^2}+c^ ...

我通过数值的办法，求解微分方程，
感觉就是一个椭圆，但是我就是没办法证明这个结论！

图片无法上传了！

hujunhua

看看光子之约。
光学聚焦性即其中第二个微分方程，积分即得第一个方程——椭圆的等波程方程。

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-17 06:40
看看光子之约。
光学聚焦性即其中第二个微分方程，积分即得第一个方程——椭圆的等波程方程。

我有个笨的办法，
就是先用数值办法证明这个微分方程只有一个解，
然后再用椭圆方程证明这是一个解，
然后就得到证明了！
但是我觉得用数值似乎并不能严格证明只有一个解，虽然看起来确实只有一个解！

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-17 06:40
看看光子之约。
光学聚焦性即其中第二个微分方程，积分即得第一个方程——椭圆的等波程方程。

看不懂你的光子之约，
而且我也不觉得那是一个证明！

mathematica

hujunhua 发表于 2020-5-17 06:40
看看光子之约。
光学聚焦性即其中第二个微分方程，积分即得第一个方程——椭圆的等波程方程。

我问的是不是一定是椭圆，而不是椭圆的入射后再反射必然经过另外一个焦点！

我问的是如果从A点出发射出的光，入射到曲线上，再反射，总是经过B点，那么是不是
这条曲线必然是椭圆？

hujunhua

mathematica 发表于 2020-5-18 10:07
我问的是不是一定是椭圆，而不是椭圆的入射后再反射必然经过另外一个焦点！

我问的是如果从A点出发射 ...

曲线上反射定律的微分方程为\[\begin{equation}\tau_1\cdot\dif\vec s-\tau_2\cdot\dif\vec s=0\end{equation}\]这里`\tau_1,\tau_2`分别为入射光矢量和反射光矢量。

设 P(x,y)为所论曲线上一动点，`|PA|=\rho_1,|PB|=\rho_2`,
如果“从A点出发射出的光，入射到曲线上，再反射，总是经过B点”，则 `\tau_1=\nabla\rho_1,\tau_2=-\nabla\rho_2`，所以按上述反射定律得微分方程\[\begin{equation}\nabla\rho_1\cdot \dif\vec{s}+\nabla\rho_2\cdot \dif\vec{s}=0\end{equation}\]由于`\nabla\rho_i\cdot \dif\vec{s}=\dif\rho_i`，上述方程即\[\begin{equation}\dif\rho_1+\dif\rho_2=0\end{equation}\]直接积分得\[\begin{equation}\rho_1+\rho_2=C\end{equation}\]