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[原创] 从一个点发射光入射到曲线上再反射到另一个点的曲线,一定是椭圆吗?

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发表于 2020-5-15 17:06:38 | 显示全部楼层 |阅读模式

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从一个点发射光入射到曲线上再反射到另一个点的曲线,一定是椭圆吗?

我们知道椭圆有的性质就是从一个焦点,入射光,然后经过反射后,必然经过另一个焦点,

但是只有椭圆才具有这样的性质吗?

我用软件验证过了,椭圆确实具有这样的性质,但是具有这样性质的曲线一定就是椭圆吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-15 19:45:09 | 显示全部楼层
一定是
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 楼主| 发表于 2020-5-16 08:41:16 | 显示全部楼层

我需要的是证明,不是结论
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 楼主| 发表于 2020-5-16 10:46:01 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];
  2. (*椭圆上的点与左边的焦点的连线所对应的斜率*)
  3. k1=y/(x+c)
  4. (*k表示椭圆上的点所在处的切线的斜率,则k2表示法线的斜率*)
  5. k2=-1/k
  6. (*椭圆上的点与右边的焦点的连线所对应的斜率*)
  7. k3=y/(x-c)
  8. (*左右斜率的倾角相加等于法线的倾角的两倍*)
  9. (*化简,合并,提取分子*)
  10. out=(k1+k3)/(1-k1*k3)-(k2+k2)/(1-k2*k2)//FullSimplify//Together//Numerator
  11. (*求解出切线斜率,用x y来表达斜率,然后求解微分方程*)
  12. Solve[out==0,{k}]//FullSimplify
复制代码


k表示dy/dx
表达式
\[\left\{\left\{k\to \frac{-\sqrt{\left(c^2-x^2+y^2\right)^2+4 x^2 y^2}+c^2-x^2+y^2}{2 x y}\right\},\left\{k\to \frac{\sqrt{\left(c^2-x^2+y^2\right)^2+4 x^2 y^2}+c^2-x^2+y^2}{2 x y}\right\}\right\}\]

还缺个初始条件,比如曲线上的某一点,比如这条曲线经过(0,a)
但是这个方程很难求解!
至少我不会求解

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用参数方程或极坐标方程试试,也许能去掉根式。  发表于 2020-5-16 15:03
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 楼主| 发表于 2020-5-16 11:06:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2020-5-16 11:12 编辑
mathematica 发表于 2020-5-16 10:46
k表示dy/dx
表达式
\[\left\{\left\{k\to \frac{-\sqrt{\left(c^2-x^2+y^2\right)^2+4 x^2 y^2}+c^ ...


我通过数值的办法,求解微分方程,
感觉就是一个椭圆,但是我就是没办法证明这个结论!

图片无法上传了!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-5-17 06:40:01 | 显示全部楼层
看看光子之约
光学聚焦性即其中第二个微分方程,积分即得第一个方程——椭圆的等波程方程。

点评

链接无效,我通过百度找到了那个帖子,且我不认为那是一个证明  发表于 2020-5-18 09:27
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-5-18 09:09:05 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-5-17 06:40
看看光子之约。
光学聚焦性即其中第二个微分方程,积分即得第一个方程——椭圆的等波程方程。

我有个笨的办法,
就是先用数值办法证明这个微分方程只有一个解,
然后再用椭圆方程证明这是一个解,
然后就得到证明了!
但是我觉得用数值似乎并不能严格证明只有一个解,虽然看起来确实只有一个解!
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 楼主| 发表于 2020-5-18 09:09:37 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-5-17 06:40
看看光子之约。
光学聚焦性即其中第二个微分方程,积分即得第一个方程——椭圆的等波程方程。

看不懂你的光子之约,
而且我也不觉得那是一个证明!

点评

链接已更正过来。你都没看懂,就敢“觉得”?  发表于 2020-5-18 10:02
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 楼主| 发表于 2020-5-18 10:07:35 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2020-5-17 06:40
看看光子之约。
光学聚焦性即其中第二个微分方程,积分即得第一个方程——椭圆的等波程方程。

我问的是不是一定是椭圆,而不是椭圆的入射后再反射必然经过另外一个焦点!

我问的是如果从A点出发射出的光,入射到曲线上,再反射,总是经过B点,那么是不是
这条曲线必然是椭圆?
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发表于 2020-5-18 10:25:37 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2020-5-18 10:07
我问的是不是一定是椭圆,而不是椭圆的入射后再反射必然经过另外一个焦点!

我问的是如果从A点出发射 ...

曲线上反射定律的微分方程为\[\begin{equation}\tau_1\cdot\dif\vec s-\tau_2\cdot\dif\vec s=0\end{equation}\]这里`\tau_1,\tau_2`分别为入射光矢量和反射光矢量。

设 P(x,y)为所论曲线上一动点,`|PA|=\rho_1,|PB|=\rho_2`,
如果“从A点出发射出的光,入射到曲线上,再反射,总是经过B点”,则 `\tau_1=\nabla\rho_1,\tau_2=-\nabla\rho_2`,所以按上述反射定律得微分方程\[\begin{equation}\nabla\rho_1\cdot \dif\vec{s}+\nabla\rho_2\cdot \dif\vec{s}=0\end{equation}\]由于`\nabla\rho_i\cdot \dif\vec{s}=\dif\rho_i`,上述方程即\[\begin{equation}\dif\rho_1+\dif\rho_2=0\end{equation}\]直接积分得\[\begin{equation}\rho_1+\rho_2=C\end{equation}\]

点评

有向弧长微分  发表于 2020-5-18 10:33
ds表示啥意思呢?  发表于 2020-5-18 10:31
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