把n(n+1)/2分解成n个1~n的方案数

KeyTo9_Fans

把${n(n+1)}/2$写成$n$个不大于$n$的正整数的和，

这$n$个正整数可以重复，

两个不同的加数交换位置算不同的方案，

那么方案数可以近似成如下图所示的公式：



但是划线部分的系数还不够精确。

问：精确的系数是多少？

kastin

`\mathrm C_{n(n-1)/2}^{n-1}`

kastin

如果加入限制的话，应该只能用上面的母函数算。

王守恩

是这串数吗？我也不知道下面的是怎么来的。
1, 2, 7, 44, 381, 4332, 60691, 1012664, 19610233,
432457640, 10701243741, 293661065788, .........

\(\D a(n)=\Coefficient\bigg[\bigg(\sum_{k=0}^{n-1}x^k\bigg)^n, x^{n (n - 1)/2}\bigg]\)

或：\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{n/2}\frac{(-1)^k(n(n+1)/2-nk-1)!n}{(n(n-1)/2-nk)!(n-k)!k!}\)

王守恩

王守恩 发表于 2020-5-19 10:59
是这串数吗？我也不知道下面的是怎么来的。
1, 2, 7, 44, 381, 4332, 60691, 1012664, 19610233,
43245 ...

主帖可以这样来认识：
2进制：在<3位数中，和=1的有2个。
3进制：在<4位数中，和=3的有7个。
4进制：在<5位数中，和=6的有44个。
5进制：在<6位数中，和=10的有381个。