数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 235|回复: 6

[讨论] 把n(n+1)/2分解成n个1~n的方案数

[复制链接]
发表于 2020-5-17 21:10:51 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
把${n(n+1)}/2$写成$n$个不大于$n$的正整数的和,

这$n$个正整数可以重复,

两个不同的加数交换位置算不同的方案,

那么方案数可以近似成如下图所示的公式:

IMG_20200517_204420.jpg

但是划线部分的系数还不够精确。

问:精确的系数是多少?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-18 10:39:38 | 显示全部楼层
`\mathrm C_{n(n-1)/2}^{n-1}`

点评

@KeyTo9_Fans,是的,忘记考虑限制条件了。  发表于 2020-5-18 17:45
这个是不限制加数范围的方案数。如果限制了最大的加数为n,方案数会少多少呢?  发表于 2020-5-18 16:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-18 19:23:05 | 显示全部楼层
如果加入限制的话,应该只能用上面的母函数算。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-19 10:59:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-5-19 15:58 编辑

是这串数吗?我也不知道下面的是怎么来的。
1, 2, 7, 44, 381, 4332, 60691, 1012664, 19610233,
432457640, 10701243741, 293661065788, .........

\(\D a(n)=\Coefficient\bigg[\bigg(\sum_{k=0}^{n-1}x^k\bigg)^n, x^{n (n - 1)/2}\bigg]\)

或:\(\D a(n)=\sum_{k=0}^{n/2}\frac{(-1)^k(n(n+1)/2-nk-1)!n}{(n(n-1)/2-nk)!(n-k)!k!}\)

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-19 15:58:43 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-5-19 10:59
是这串数吗?我也不知道下面的是怎么来的。
1, 2, 7, 44, 381, 4332, 60691, 1012664, 19610233,
43245 ...

主帖可以这样来认识:
2进制:在<3位数中,和=1的有2个。
3进制:在<4位数中,和=3的有7个。
4进制:在<5位数中,和=6的有44个。
5进制:在<6位数中,和=10的有381个。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2020-7-15 20:12 , Processed in 0.074007 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表