能否构造一个对称的三角函数表达式，在给定的情况取最大最小值

lsr314 · 发表于 2020-5-27 16:06:30

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本帖最后由 lsr314 于 2020-5-27 16:06 编辑

能否构造一个以三角形三个角为变量的关于A、B、C对称的三角函数表达式f(A,B,C)，可以加上“锐角三角形”的限制，使f(A,B,C)在某些我们期望的形状下取得最大值或最小值？
比如构造一个关于A、B、C对称的三角函数表达式f(A,B,C)，使其在A、B、C=50°、60°、70°（或者A、B、C互换）时取最大值。

zeroieme · 发表于 2020-5-27 18:03:55

函数表达式对称多项式化，分式则通分，分子分母分别对称多项式化

zeroieme · 发表于 2020-5-27 19:27:41

50°、60°、70°情形
\(s_1=180\)定值，可构造一个二元函数\(f(s_2,s_3)\)，最大值位于\(s_2=50\times 60+60\times 70+70\times 50=10700\)，\(s_3=50\times 60 \times 70=210000\)。

白白白 · 发表于 2021-6-10 23:26:13

比如构造一个函数f(x,y,z),令z=180-x-y, 平面上有一点P和三点A,B,C，PA,PB,PC长度已知，x,y分别表示PA与PB，PB与PC之间的夹角的补角，则z等于PA与PC之间的夹角的补角，让f(x,y,z)表示三角形ABC的面积，
这样如果PA,PB,PC取cos50,cos60,cos70,函数取最大值时x,y,z应该就是50，60，70，
这个函数可以写成f(x,y,z)=1/2(PA*PB*sinx+PB*PC*siny+PA*PC*sinz)，其中x+y+z=180,取PA

B

C=cosa:cosb:cosc,其中a+b+c=180，即可得到(y,z,x)=(a,b,c)时最大，但好像不对称

hujunhua · 发表于 2021-6-11 07:28:27

可以的，对称函数的驻点不一定全都在对称轴上

mathe · 发表于 2021-6-11 07:31:57

可以取g(A,B,C)=(A-sin(50°))^2+(B-sin(60°))^2+(C-sin(70°))^2
取f(A,B,C)=g(A,B,C)g(A,C,B)g(B,C,A)g(B,A,C)g(C,A,B)g(C,B,A)即可

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