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[讨论] 能否构造一个对称的三角函数表达式,在给定的情况取最大最小值

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发表于 2020-5-27 16:06:30 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 lsr314 于 2020-5-27 16:06 编辑

能否构造一个以三角形三个角为变量的关于A、B、C对称的三角函数表达式f(A,B,C),可以加上“锐角三角形”的限制,使f(A,B,C)在某些我们期望的形状下取得最大值或最小值?
比如构造一个关于A、B、C对称的三角函数表达式f(A,B,C),使其在A、B、C=50°、60°、70°(或者A、B、C互换)时取最大值。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-27 18:03:55 | 显示全部楼层
函数表达式对称多项式化,分式则通分,分子分母分别对称多项式化
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-27 19:27:41 | 显示全部楼层
50°、60°、70°情形
\(s_1=180\)定值,可构造一个二元函数\(f(s_2,s_3)\),最大值位于\(s_2=50\times 60+60\times 70+70\times 50=10700\),\(s_3=50\times 60 \times 70=210000\)。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-10 23:26:13 | 显示全部楼层
比如构造一个函数f(x,y,z),令z=180-x-y, 平面上有一点P和三点A,B,C,PA,PB,PC长度已知,x,y分别表示PA与PB,PB与PC之间的夹角的补角,则z等于PA与PC之间的夹角的补角,让f(x,y,z)表示三角形ABC的面积,
这样如果PA,PB,PC取cos50,cos60,cos70,函数取最大值时x,y,z应该就是50,60,70,
这个函数可以写成f(x,y,z)=1/2(PA*PB*sinx+PB*PC*siny+PA*PC*sinz),其中x+y+z=180,取PABC=cosa:cosb:cosc,其中a+b+c=180,即可得到(y,z,x)=(a,b,c)时最大,但好像不对称
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-6-11 07:28:27 | 显示全部楼层
可以的,对称函数的驻点不一定全都在对称轴上
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2021-6-11 07:31:57 | 显示全部楼层
可以取g(A,B,C)=(A-sin(50°))^2+(B-sin(60°))^2+(C-sin(70°))^2
取f(A,B,C)=g(A,B,C)g(A,C,B)g(B,C,A)g(B,A,C)g(C,A,B)g(C,B,A)即可
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