抛物线在抛物线上滚动，焦点的轨迹是一条直线，那么两个抛物线之间满足什么关系？

mathematica

无心得而鬼神服 发表于 2020-7-6 20:02
考虑抛物线的光学性质，从两个焦点向相切点发射一束光线，考察两束光线在切点反射后的轨迹，很容易证明

再详细一点

倪举鹏

这是抛物线基本几何性质：抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，连线的角平分线就是过此点的抛物线切线

.·.·.

mathematica 发表于 2020-7-7 08:30
再详细一点

我只有一个问题
怎么定义“滚动”

比如两个抛物线不一样的时候，滚动是什么样的
交点到各自顶点的距离相等吗？
那玩意真的能算吗？

对抛物线y=x^2,在x0处切线是y=2x0x+C，对x求导得斜率2x0，从而d(抛物线长)/dx=sqrt(1+k^2)(k为斜率)=sqrt(1+4x0^2)
我们拿这东西求个积分，算算两抛物线交点为(1,1)的时候，这个已知抛物线的弦长...
Integrate[Sqrt[1 + 4 x^2], {x, 0, 1}]
1/4 (2 Sqrt[5] + ArcSinh[2])

更进一步
Assuming[t > 0, Integrate[Sqrt[1 + 4 x^2], {x, 0, t}]]
1/4 (2 t Sqrt[1 + 4 t^2] + ArcSinh[2 t])
如你所见，这是一个算出来有点见鬼的东西……
我不确定用这个东西能解出来什么