y=x^n（n为不小于4的正整数）和直线的交点数一定小于n

manthanein

我用几何画板作图后猜测：

对于任意不小于4的正整数\(n\)，在平面直角坐标系里，\(y=x^n\)和任意一条直线的交点数都一定小于\(n\)。

这是一个真命题吗？

mathe

对于偶数n显然交点数目不超过2，对于奇数n显然交点数目不超过3.用微积分可以很容易证明

hujunhua

算上复根，计重根，刚好。

如果没听说过代数基本定理，搜一哈。

sheng_jianguo

楼主的问题实际上是问：对于两个任何实数k，b及整数n（n≥4），x^n+k*x+b=0最多有几个不同实根？
对于任何连续可导函数f(x)，f(x)不同实根数m≤f ’(x)不同实根数+1。
令f(x)=x^n+k*x+b，则f ’(x)=n*x^(n-1)+k, f ”(x)=(n-1)*n*x^(n-2)
故f “(x)不同实根数=1（只有x=0），f ’(x)不同实根数≤1+1=2，f ,(x)不同实根数≤2+1=3
所以，x^n+k*x+b=0最多有3个不同实根（＜n）。
如果进一步分析，虚数根的个数必为偶数，就可得到2楼 mathe的结论。

注：f ’(x)有s个不同实根数，即f(x)在实数坐标系中有s个不同的极值点，故f(x)不同实根数m≤s+1。

manthanein

试一下：
显然\(y=x^n\)和\(x=c\)只能有一个交点，和\(y=d\)最多也只能有两个交点，所以只要考虑\(y=x^n\)和\(y=kx+b\)的交点数。
令\(F(x)=x^n-kx-b\)，\(F'(x)=nx^{n-1}-k\)
若\(n\)为奇数，\(k\)为负数，那么\(nx^{n-1}-k\)恒大于0，因此\(F(x)\)在\(R\)上单调递增，所以最多只有一个零点。
若\(n\)为奇数，\(k\)为正数。此时有\(x_1\)、\(x_2\)使得\(F'(x_1)=F'(x_2)=0\)且\(x_1 \lt x_2\)。在\((-\infty,x_1)\)上\(F(x)\)递增，\((x_1,x_2)\)上\(F(x)\)递减，\((x_2,+\infty)\)上\(F(x)\)递增，所以最多只有三个零点。