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[讨论] y=x^n(n为不小于4的正整数)和直线的交点数一定小于n

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发表于 2020-7-14 14:01:00 | 显示全部楼层 |阅读模式

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我用几何画板作图后猜测:

对于任意不小于4的正整数\(n\),在平面直角坐标系里,\(y=x^n\)和任意一条直线的交点数都一定小于\(n\)。

这是一个真命题吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-7-14 15:52:36 | 显示全部楼层
对于偶数n显然交点数目不超过2,对于奇数n显然交点数目不超过3.用微积分可以很容易证明
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-7-14 16:33:50 | 显示全部楼层
算上复根,计重根,刚好。

如果没听说过代数基本定理,搜一哈。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-7-14 17:53:52 | 显示全部楼层
本帖最后由 sheng_jianguo 于 2020-7-14 20:09 编辑

楼主的问题实际上是问:对于两个任何实数k,b及整数n(n≥4),x^n+k*x+b=0最多有几个不同实根?
对于任何连续可导函数f(x),f(x)不同实根数m≤f ’(x)不同实根数+1。
令f(x)=x^n+k*x+b,则f ’(x)=n*x^(n-1)+k, f ”(x)=(n-1)*n*x^(n-2)
故f “(x)不同实根数=1(只有x=0),f ’(x)不同实根数≤1+1=2,f ,(x)不同实根数≤2+1=3
所以,x^n+k*x+b=0最多有3个不同实根(<n)。
如果进一步分析,虚数根的个数必为偶数,就可得到2楼 mathe的结论。

注:f ’(x)有s个不同实根数,即f(x)在实数坐标系中有s个不同的极值点,故f(x)不同实根数m≤s+1。
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 楼主| 发表于 2020-7-14 17:58:14 | 显示全部楼层
试一下:
显然\(y=x^n\)和\(x=c\)只能有一个交点,和\(y=d\)最多也只能有两个交点,所以只要考虑\(y=x^n\)和\(y=kx+b\)的交点数。
令\(F(x)=x^n-kx-b\),\(F'(x)=nx^{n-1}-k\)
若\(n\)为奇数,\(k\)为负数,那么\(nx^{n-1}-k\)恒大于0,因此\(F(x)\)在\(R\)上单调递增,所以最多只有一个零点。
若\(n\)为奇数,\(k\)为正数。此时有\(x_1\)、\(x_2\)使得\(F'(x_1)=F'(x_2)=0\)且\(x_1 \lt x_2\)。在\((-\infty,x_1)\)上\(F(x)\)递增,\((x_1,x_2)\)上\(F(x)\)递减,\((x_2,+\infty)\)上\(F(x)\)递增,所以最多只有三个零点。
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