一道数据划分问题

mathe

现在总算找到了构造方法，从而证明了充分性: 直接给出原题的一个构造吧。 我们总是取$a_t=t, 1<=t<=N$ 先看N=4K的情况 对于t=3,5,...,4K-1 取$b_t=4K+1+(4K+1-t)/2, c_t=8K+2-(4K+1-t)/2$ 也就是分别对应 $(8K+1)-(4K+2)=(4K-1)$ $(8K)-(4K+3)=(4K-3)$ $...$ $(6K+3)-(6K)=(3)$ 此外，取 $b_{2k}=4K+1,c_{2k}=6K+1$ $b_{4k}=6K+2,c_{4k}=10K+2$ $b_1=9K+1,c_1=9K+2$ 对于t=2,4,...,2K-2 取 $b_t=10K+2-t/2,c_t=10K+2+t/2$ 也就是 $(10K+3)-(10K+1)=(2)$ $(10K+4)-(10K)=(4)$ $...$ $(11K+1)-(9K+3)=(2K-2)$ 对于t=2K+2,2K+4,...,4K-2,取 $b_t=10K+1-t/2,c_t=10K+1+t/2$ 也就是 $(11K+2)-(9K)=(2K+2)$ $(11K+3)-(9K-1)=(2K+4)$ $...$ $(12K)-(8K+2)=(4K-2)$

mathe

上面是N=4K的情况，对于N=4K+1,构造方法类似，我就只简单列出一个映射表了

a    4K+1 4K-1 ...    3 2K+2  4K       2     4 ...  2K    2K+4  2K+6 ...  4K-2     1
b    4K+3 4K+4 ... 6K+2 4K+2  6K+3 10K+2 10K+1 ...  9K+3  9K+2  9K+1 ...  8K+5 11K+4
c    8K+4 8K+3 ... 6K+5 6K+4 10K+3 10K+4 10K+5 ... 11K+3 11K+6 11K+7 ... 12K+3 11K+5

mathe

此外，我还发现任意2N个连续整数可以分成两个相等数目的数列，使对应项的差正好构成2,3,..,N,N+1的充分必要条件为N=0,3 (mod 4),不过这个结论我还没有证明