求证题

王守恩

记三角形\(ABC\)的三条边为\(a,b,c\)
\(p\)是三角形\(ABC\)内的点，过\(p\)作角分线交\(a,b,c\)于\(D,E,F\)
\(BC=a=BD+DC=a_1+a_2\)
\(CA=b=CE+EA=b_1+b_2\)
\(AB=c=AF+FB=c_1+c_2\)
求证：
\(\frac{a_1*b_1*c_1}{a_2*b_2*c_2}={1}\)

倪举鹏

哇塞定律，证明略

王守恩

倪举鹏 发表于 2020-9-23 08:44
哇塞定律，证明略

记三角形ABC的三条边为a,b,c
P是三角形内的点，过P作角分线交c,b,a于D,E,F

我们可以有(至少)：

\(\D\frac{AD*BF*CE}{AE*BD*CF}=1\ \ \ \frac{\sin∠PAB*\sin∠PBC*\sin∠PCA}{\sin∠PAC*\sin∠PCB*\sin∠PBA}=1\)

\(\D\frac{PD*FC*AB}{PC*FB*AD}=1\ \ \ \frac{PD*EC*BA}{PC*EA*BD}=1\ \ \ \frac{PE*DB*CA}{PB*DA*CE}=1\)

\(\D\frac{PE*FB*AC}{PB*FC*AE}=1\ \ \ \frac{PF*EA*BC}{PA*EC*BF}=1\ \ \ \frac{PF*DA*CB}{PA*DB*CF}=1\)

\(\D\frac{\sin∠FAB*AB*FC}{\sin∠FAC*AC*FB}=1\ \ \ \frac{\sin∠PAB*AB*PE}{\sin∠PAE*AE*PB}=1\ \ \ \frac{\sin∠PAD*AD*PC}{\sin∠PAC*AC*PD}=1\)

\(\D\frac{\sin∠EBA*BA*EC}{\sin∠EBC*BC*EA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PBA*BA*PF}{\sin∠PBF*BF*PA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PBD*BD*PC}{\sin∠PBC*BC*PD}=1\)

\(\D\frac{\sin∠DCA*CA*DB}{\sin∠DCB*CB*DA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PCA*CA*PF}{\sin∠PCF*CF*PA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PCE*CE*PB}{\sin∠PCB*CB*PE}=1\)

王守恩

王守恩 发表于 2020-9-24 10:22
记三角形ABC的三条边为a,b,c
P是三角形内的点，过P作角分线交c,b,a于D,E,F

在三角形中，已知三条边 \(a,b,c\)，求三个角\(A,B,C\)，恒有：

\(\D A=\sin^{-1}\frac{a}{x}\ \ \ \ B=\sin^{-1}\frac{b}{x}\ \ \ \ C=\sin^{-1}\frac{c}{x}\)

求证：\(\D x=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)

aimisiyou

王守恩 发表于 2020-10-2 08:43
在三角形中，已知三条边 \(a,b,c\)，求三个角\(A,B,C\)，恒有：

\(\D A=\sin^{-1}\frac{a}{x}\ \ \ \  ...

外接圆,  a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.

王守恩

记三角形ABC的3个角为2A,2B,2C,  恒有:

\((1),\frac{\sin(A)\sin(B+C)}{\sin(C)\sin(A-B)+\sin(B)\sin(C+A)}≡1\)

\((2),\frac{2\cos(A)\cos(B)\cos(C)}{\sin(A)\cos(A)+\sin(B)\cos(B)+\sin(C)\cos(C)}≡1\)

\((3),\frac{\sin^2(B)+\sin^2(A+B)-2\sin(B)\sin(A+B)\cos(A)}{(\sin^2(C)+\sin^2(A-C)+2\sin(C)\sin(A-C)\cos(A)}≡1\)