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[灌水] 求证题

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发表于 2020-9-22 06:29:43 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 王守恩 于 2020-9-22 07:57 编辑

记三角形\(ABC\)的三条边为\(a,b,c\)
\(p\)是三角形\(ABC\)内的点,过\(p\)作角分线交\(a,b,c\)于\(D,E,F\)
\(BC=a=BD+DC=a_1+a_2\)
\(CA=b=CE+EA=b_1+b_2\)
\(AB=c=AF+FB=c_1+c_2\)
求证:
\(\frac{a_1*b_1*c_1}{a_2*b_2*c_2}={1}\)

点评

请不要在 \(\rm\LaTeX\) 数学公式中夹杂汉字!(曾已多次提醒)  发表于 2020-9-22 07:19
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-23 08:44:01 | 显示全部楼层
哇塞定律,证明略

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王守恩 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 很给力!

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-9-24 10:22:17 | 显示全部楼层
倪举鹏 发表于 2020-9-23 08:44
哇塞定律,证明略

记三角形ABC的三条边为a,b,c
P是三角形内的点,过P作角分线交c,b,a于D,E,F

我们可以有(至少):

\(\D\frac{AD*BF*CE}{AE*BD*CF}=1\ \ \ \frac{\sin∠PAB*\sin∠PBC*\sin∠PCA}{\sin∠PAC*\sin∠PCB*\sin∠PBA}=1\)

\(\D\frac{PD*FC*AB}{PC*FB*AD}=1\ \ \ \frac{PD*EC*BA}{PC*EA*BD}=1\ \ \ \frac{PE*DB*CA}{PB*DA*CE}=1\)

\(\D\frac{PE*FB*AC}{PB*FC*AE}=1\ \ \ \frac{PF*EA*BC}{PA*EC*BF}=1\ \ \ \frac{PF*DA*CB}{PA*DB*CF}=1\)

\(\D\frac{\sin∠FAB*AB*FC}{\sin∠FAC*AC*FB}=1\ \ \ \frac{\sin∠PAB*AB*PE}{\sin∠PAE*AE*PB}=1\ \ \ \frac{\sin∠PAD*AD*PC}{\sin∠PAC*AC*PD}=1\)

\(\D\frac{\sin∠EBA*BA*EC}{\sin∠EBC*BC*EA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PBA*BA*PF}{\sin∠PBF*BF*PA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PBD*BD*PC}{\sin∠PBC*BC*PD}=1\)

\(\D\frac{\sin∠DCA*CA*DB}{\sin∠DCB*CB*DA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PCA*CA*PF}{\sin∠PCF*CF*PA}=1\ \ \ \frac{\sin∠PCE*CE*PB}{\sin∠PCB*CB*PE}=1\)

点评

用角平分线定理,可秒证  发表于 2020-9-27 07:57
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-10-2 08:43:02 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-9-24 10:22
记三角形ABC的三条边为a,b,c
P是三角形内的点,过P作角分线交c,b,a于D,E,F

在三角形中,已知三条边 \(a,b,c\),求三个角\(A,B,C\),恒有:

\(\D A=\sin^{-1}\frac{a}{x}\ \ \ \ B=\sin^{-1}\frac{b}{x}\ \ \ \ C=\sin^{-1}\frac{c}{x}\)

求证:\(\D x=\frac{2abc}{\sqrt{(a+b+c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b-c)}}\)

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-10-2 08:54:56 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2020-10-2 08:43
在三角形中,已知三条边 \(a,b,c\),求三个角\(A,B,C\),恒有:

\(\D A=\sin^{-1}\frac{a}{x}\ \ \ \  ...

外接圆,  a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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