k次n元多项式分解

uk702

我们知道，
\[x^3+y^3 = (x+y)(x^2+xy+y^2)\] 在实数域内可分解。

由此，\[x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4+x^2y^2+y^4) \] 在实数域内可分解。

现在，求所有的正整数 n 与 k，使得 k 次 n 元多项式 \[x^k+y^k+...+z^k\] 在实数域内可分解。

uk702

再或者，

求所有的正整数 n，k 和素数 p，使得 \[x^k+y^k+...+z^k\] 在模 p 域内可分解。

uk702

我只知道平凡的情况（初中老师教的）：
n=1 时，k>=2，忽略。
n=2时，k有奇因子，也就是说，k != \(2^m\)，此外不知道有没有例外或补充。
n>=3时，一个也不知道。

对于模 p 的情况，似乎有
由于
\[(x+2y)(x-2y)=x^2-4y^2≡x^2+y^2 (mod\ 5)\]
所以 \[x^2+y^2\] 在模 5 域或其它 4k+1 型素数域中可分解。

uk702

由于
\[x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2-xy-xz+y^2-yz+z^2)\]

故
\[x^3+y^3+z^3\]
在模 3 域中可分解。

uk702

\(x^5+y^5+z^5-5x^3yz+5xy^2z^2\)=\((x+y+z)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4-x^3z-3x^2yz+2xy^2z-y^3z+x^2z^2+2xyz^2+y^2z^2-xz^3-yz^3+z^4)\)

故 \(x^5+y^5+z^5\) 在模 5  域中可分解。

uk702

试了一下，
\( \text{PolynomialMod}[x^3 + y^3 + z^3, x + y + z] = -3 y^2 z - 3 y z^2 \)
\( \text{PolynomialMod}[x^5 + y^5 + z^5, x + y + z] = -5 y^4 z - 10 y^3 z^2 - 10 y^2 z^3 - 5 y z^4 \)
\( \text{PolynomialMod}[x^7 + y^7 + z^7, x + y + z] = -7 y^6 z - 21 y^5 z^2 - 35 y^4 z^3 - 35 y^3 z^4 - 21 y^2 z^5 - 7 y z^6 \)

故当 \(p\) 为素数时， \(x^p + y^p +z^p\) 在模 \(p\) 域应该都可以分解。

且可以推广到 \(n\) 元的情况，这是因为，易知  \((x+y+\dots+z)^p\) = \(x^p+y^p+\dots+z^p +(\dots)\)，其中 \((\dots)\)  为 \(p\) 倍数的整系数项。

mathe

在p为素数时，$F_p$上有$x^p+y^p+z^p=(x+y+z)^p$,在增加变量的数目也可以成立