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[提问] k次n元多项式分解

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发表于 2020-11-16 08:00:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
我们知道,
\[x^3+y^3 = (x+y)(x^2+xy+y^2)\] 在实数域内可分解。

由此,\[x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4+x^2y^2+y^4) \] 在实数域内可分解。

现在,求所有的正整数 n 与 k,使得 k 次 n 元多项式 \[x^k+y^k+...+z^k\] 在实数域内可分解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-11-16 08:17:49 | 显示全部楼层
再或者,

求所有的正整数 n,k 和素数 p,使得 \[x^k+y^k+...+z^k\] 在模 p 域内可分解。

毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-11-16 08:51:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-11-16 08:59 编辑

我只知道平凡的情况(初中老师教的):
n=1 时,k>=2,忽略。
n=2时,k有奇因子,也就是说,k != \(2^m\),此外不知道有没有例外或补充。
n>=3时,一个也不知道。

对于模 p 的情况,似乎有
由于
\[(x+2y)(x-2y)=x^2-4y^2≡x^2+y^2 (mod\ 5)\]
所以 \[x^2+y^2\] 在模 5 域或其它 4k+1 型素数域中可分解。
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 楼主| 发表于 2020-11-17 06:33:34 | 显示全部楼层
由于
\[x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2-xy-xz+y^2-yz+z^2)\]


\[x^3+y^3+z^3\]
在模 3 域中可分解。

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