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[提问] k次n元多项式分解

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发表于 2020-11-16 08:00:33 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
我们知道,
\[x^3+y^3 = (x+y)(x^2+xy+y^2)\] 在实数域内可分解。

由此,\[x^6+y^6=(x^2+y^2)(x^4+x^2y^2+y^4) \] 在实数域内可分解。

现在,求所有的正整数 n 与 k,使得 k 次 n 元多项式 \[x^k+y^k+...+z^k\] 在实数域内可分解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-4 12:35:54 | 显示全部楼层
在p为素数时,$F_p$上有$x^p+y^p+z^p=(x+y+z)^p$,在增加变量的数目也可以成立
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 楼主| 发表于 2020-11-16 08:17:49 | 显示全部楼层
再或者,

求所有的正整数 n,k 和素数 p,使得 \[x^k+y^k+...+z^k\] 在模 p 域内可分解。

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 楼主| 发表于 2020-11-16 08:51:41 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-11-16 08:59 编辑

我只知道平凡的情况(初中老师教的):
n=1 时,k>=2,忽略。
n=2时,k有奇因子,也就是说,k != \(2^m\),此外不知道有没有例外或补充。
n>=3时,一个也不知道。

对于模 p 的情况,似乎有
由于
\[(x+2y)(x-2y)=x^2-4y^2≡x^2+y^2 (mod\ 5)\]
所以 \[x^2+y^2\] 在模 5 域或其它 4k+1 型素数域中可分解。
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 楼主| 发表于 2020-11-17 06:33:34 | 显示全部楼层
由于
\[x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2-xy-xz+y^2-yz+z^2)\]


\[x^3+y^3+z^3\]
在模 3 域中可分解。

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 楼主| 发表于 2020-12-30 17:25:41 | 显示全部楼层
\(x^5+y^5+z^5-5x^3yz+5xy^2z^2\)=\((x+y+z)(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4-x^3z-3x^2yz+2xy^2z-y^3z+x^2z^2+2xyz^2+y^2z^2-xz^3-yz^3+z^4)\)

故 \(x^5+y^5+z^5\) 在模 5  域中可分解。
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 楼主| 发表于 2020-12-30 18:30:23 | 显示全部楼层
试了一下,
\( \text{PolynomialMod}[x^3 + y^3 + z^3, x + y + z] = -3 y^2 z - 3 y z^2 \)
\( \text{PolynomialMod}[x^5 + y^5 + z^5, x + y + z] = -5 y^4 z - 10 y^3 z^2 - 10 y^2 z^3 - 5 y z^4 \)
\( \text{PolynomialMod}[x^7 + y^7 + z^7, x + y + z] = -7 y^6 z - 21 y^5 z^2 - 35 y^4 z^3 - 35 y^3 z^4 - 21 y^2 z^5 - 7 y z^6 \)

故当 \(p\) 为素数时, \(x^p + y^p +z^p\) 在模 \(p\) 域应该都可以分解。

且可以推广到 \(n\) 元的情况,这是因为,易知  \((x+y+\dots+z)^p\) = \(x^p+y^p+\dots+z^p +(\dots)\),其中 \((\dots)\)  为 \(p\) 倍数的整系数项。
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