为什么gamma函数的定义要减去1？

mathematica · 发表于 2021-1-4 09:55:18

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\[\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}\*e^{-t}dt\]

n维球体的体积公式\[V_n(R) = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)}R^n\]
如果不是减去1的话，分子正好是$\Gamma(n/2)$，这个不是很好吗？

mathe · 发表于 2021-1-4 10:09:35

mathematica · 发表于 2021-1-4 12:07:26

mathe 发表于 2021-1-4 10:09

在维基百科上有这个图

mathematica · 发表于 2021-1-5 10:10:50

mathe 发表于 2021-1-4 10:09

我觉得和黎曼函数也有关系，正好能形成一个对称的表达式

mathematica · 发表于 2021-1-5 15:58:03

mathe 发表于 2021-1-4 10:09

还有估计就是梅林变换减1，所以gamma函数也减去1

mathematica · 发表于 2021-1-6 13:09:18

@kastin
试试这个问题

kastin · 发表于 2021-1-6 15:06:49

1楼最开始的积分定义可以导出递归关系 `\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)`，个人感觉这样的好处是避免人为定义0!=1，直接从1!=1出发确定所有整数值，而0到1的函数值获得后，可以利用Gamma函数的反射公式，获得所有整数之间的函数值。采用目前这套定义，反射公式对称且简单：`\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}`

mathematica · 发表于 2021-1-6 15:12:46

kastin 发表于 2021-1-6 15:06
1楼最开始的积分定义可以导出递归关系 `\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)`，个人感觉这样的好处是避免人为定义0!=1， ...

我认为的三个可能因素，二楼的说了一个，
就是让最右边的那个gamma函数的分支完全处在第一象限，
还有梅林变换减去1
还有就是和黎曼zeta函数扯上了关系，有一个对称表达式

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