数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 399|回复: 7

[提问] 为什么gamma函数的定义要减去1?

[复制链接]
发表于 2021-1-4 09:55:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
\[\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}\*e^{-t}dt\]


n维球体的体积公式\[V_n(R) = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)}R^n\]
如果不是减去1的话,分子正好是$\Gamma(n/2)$,这个不是很好吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-4 10:09:35 | 显示全部楼层
Gamma_plot.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-4 12:07:26 | 显示全部楼层


在维基百科上有这个图
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-5 10:10:50 | 显示全部楼层

我觉得和黎曼函数也有关系,正好能形成一个对称的表达式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-5 15:58:03 | 显示全部楼层

还有估计就是梅林变换减1,所以gamma函数也减去1
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-6 13:09:18 | 显示全部楼层
@kastin
试试这个问题
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-1-6 15:06:49 | 显示全部楼层
1楼最开始的积分定义可以导出递归关系 `\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)`,个人感觉这样的好处是避免人为定义0!=1,直接从1!=1出发确定所有整数值,而0到1的函数值获得后,可以利用Gamma函数的反射公式,获得所有整数之间的函数值。采用目前这套定义,反射公式对称且简单:`\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin \pi z}`
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-1-6 15:12:46 | 显示全部楼层
kastin 发表于 2021-1-6 15:06
1楼最开始的积分定义可以导出递归关系 `\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)`,个人感觉这样的好处是避免人为定义0!=1, ...

我认为的三个可能因素,二楼的说了一个,
就是让最右边的那个gamma函数的分支完全处在第一象限,
还有梅林变换减去1
还有就是和黎曼zeta函数扯上了关系,有一个对称表达式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-2-27 15:05 , Processed in 0.075286 second(s), 20 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表