一道初中竞赛题求三角形面积

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一道初中竞赛题求三角形面积

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1. Clear["Global`*"];
   
2. AB=10;
   
3. BD=4;
   
4. (*∠BAC=x,∠ABE=y,不知道为什么用Solve函数求解不出来,但是用Reduce能求解*)
   
5. ans=FullSimplify@ToRules@Reduce[{
   
6.     AB/Sin[x+3*y]==BC/Sin[x],(*ABC正弦定理*)
   
7.     BD/Sin[x+3*y]==BC/Sin[x+4*y],(*BCD正弦定理*)
   
8.     2*(x+3*y)+x==Pi,(*三角形ABC内角和等于180*)
   
9.     0<x<Pi/3&&0<y<Pi/3(*限制变量范围*)
   
10. },{x,y,BC}]
    
11. (*勾股定理得出△ABC的高,再乘以BC,再除以2,得到面积*)
    
12. area=1/2*Sqrt[10^2-(BC/2)^2]*BC/.ans//FullSimplify
    

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求解结果
\[\left\{x\to -4 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{8 \sqrt{19}+38}+4}{\sqrt{3}}\right),y\to \frac{1}{6} (\pi -3 x),\text{BC}\to 10 \sqrt{2-\frac{8}{\sqrt{19}}}\right\}\]

顶角x=$\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$
面积
\[50 \sqrt{\frac{3}{19}}\]

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mathematica 发表于 2021-1-14 09:58
求解结果
\[\left\{x\to -4 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{8 \sqrt{19}+38}+4}{\sqrt{3}}\ri ...

@chyanog

不知道为什么用Solve函数求解不出来,但是用Reduce能求解

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∠BAC=x,∠ABE=y,再利用三角形ABC内角和等于180
则∠ABE=x+2*y=60,EF垂直AB与F,
则可以计算出BF的长度=>AF的长度\FE的长度=>∠A的正切=>∠A的正弦=>1/2*AB*BC*Sin[A]

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mathematica 发表于 2021-1-14 09:58
求解结果
\[\left\{x\to -4 \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{19}-\sqrt{8 \sqrt{19}+38}+4}{\sqrt{3}}\ri ...

数学上稍微变通一下,这下软件就能求解了!

1. Clear["Global`*"];
   
2. AB=AC=10;
   
3. BD=4;
   
4. (*∠BAC=x,∠ABE=y*)
   
5. ans=FullSimplify@Solve[{
   
6.     AB*Sin[x]==BD*Sin[x+4*y],(*利用正弦定理,两者都等BC*Sin[x+4*y],这样就可以忽略变量BC*)
   
7.     2*(x+3*y)+x==Pi,(*三角形ABC内角和等于180*)
   
8.     0<x<Pi/3&&0<y<Pi/3(*限制变量范围*)
   
9. },{x,y}]
   
10. (*进一步化简x y的值*)
    
11. aa=ArcTan[Tan[{x,y}/.ans]//FullSimplify]
    
12. (*求解面积*)
    
13. area=FullSimplify[1/2*AB*AC*Sin[x]/.ans]
    

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两个角度等于
\[\left\{\left\{x\to \frac{1}{3} \left(\pi +6 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{9} \left(7 \sqrt{3}-2 \sqrt{57}\right)\right)\right),y\to \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{19}-7}{3 \sqrt{3}}\right)\right\}\right\}\]
进一步化简后的角度
\[\left(
\begin{array}{cc}
\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) & \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{19}-7}{3 \sqrt{3}}\right) \\
\end{array}
\right)\]

面积
\[\left\{50 \sqrt{\frac{3}{19}}\right\}\]