令 x+y=u, x y=v, 将 x^n+y^n 用 u , v 的多项式表示，如何用软件计算出这个多项式？

TSC999

(1) 令 \( x+y=u \)，\( xy=v \)，如何将对称多项式  \(x^n+y^n \) 展开成 \(u，v \) 的多项式？
例如：将 \(x^7+y^7 \) 展开成 \(u，v \) 的多项式，结果是  \(x^7+y^7= u^7 - 7 u^5 v + 14 u^3 v^2 - 7 u v^3 \)。
用数学软件做，mathematica 中有没有相应的展开指令？

(2) 对于三元三次对称多项式，令  \( x+y+z=u \)，\( xy+yz+zx=v \)，\( xyz=t \)，有没有一个指令将它展开成 \(u，v， t  \) 的多项式？

例如：  \(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2=uv-3t \)。

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百度看看牛顿多项式

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站内搜索牛顿多项式

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是牛顿恒等式

葡萄糖

对称约化
SymmetricReduction

1. SymmetricReduction[ x^2 (y + z) + y^2 (z + x) + z^2 (x + y), {x, y, z}, {u, v, w}]

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mathe

可以记$F_n=x^n+y^n$,于是$F_{n+1}=uF_n-vF_{n-1}$,其中$F_0=2,F_1=u$
于是可以递推计算，比如$F_2=uF_1-vF_0=u^2-2v, F_3=uF_2-vF_1=u^3-2uv-vu=u^3-3uv$

TSC999

由楼上给出的递推公式可以求出通项公式。

1. Clear["Global`*"];
   
2. Simplify@RSolve[{a[n] == u a[n - 1] - v a[n - 2], a[0] == 2,
   
3.     a[1] == u}, a[n], n] // ToRadicals

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