数学研发论坛

 找回密码
 欢迎注册
查看: 484|回复: 7

[讨论] 令 x+y=u, x y=v, 将 x^n+y^n 用 u , v 的多项式表示,如何用软件计算出这个多项式?

[复制链接]
发表于 2021-2-4 11:45:53 | 显示全部楼层 |阅读模式

马上注册,结交更多好友,享用更多功能,让你轻松玩转社区。

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?欢迎注册

x
本帖最后由 TSC999 于 2021-2-4 11:58 编辑

(1) 令 \( x+y=u \),\( xy=v \),如何将对称多项式  \(x^n+y^n \) 展开成 \(u,v \) 的多项式?
例如:将 \(x^7+y^7 \) 展开成 \(u,v \) 的多项式,结果是  \(x^7+y^7= u^7 - 7 u^5 v + 14 u^3 v^2 - 7 u v^3 \)。
用数学软件做,mathematica 中有没有相应的展开指令?

(2) 对于三元三次对称多项式,令  \( x+y+z=u \),\( xy+yz+zx=v \),\( xyz=t \),有没有一个指令将它展开成 \(u,v, t  \) 的多项式?

例如:  \(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+z^2x+zx^2=uv-3t \)。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-2-4 12:07:27 | 显示全部楼层
百度看看牛顿多项式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-2-4 12:07:41 | 显示全部楼层
站内搜索牛顿多项式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-2-4 12:08:29 | 显示全部楼层
是牛顿恒等式
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-2-4 13:25:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2021-2-4 13:29 编辑

对称约化
SymmetricReduction

  1. SymmetricReduction[ x^2 (y + z) + y^2 (z + x) + z^2 (x + y), {x, y, z}, {u, v, w}]
复制代码

点评

谢谢! 我要的正是这条指令。  发表于 2021-2-8 11:08
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-2-9 16:45:14 | 显示全部楼层
可以记$F_n=x^n+y^n$,于是$F_{n+1}=uF_n-vF_{n-1}$,其中$F_0=2,F_1=u$
于是可以递推计算,比如$F_2=uF_1-vF_0=u^2-2v, F_3=uF_2-vF_1=u^3-2uv-vu=u^3-3uv$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2021-2-12 11:49:21 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2021-2-12 11:52 编辑

由楼上给出的递推公式可以求出通项公式。

  1. Clear["Global`*"];
  2. Simplify@RSolve[{a[n] == u a[n - 1] - v a[n - 2], a[0] == 2,
  3.     a[1] == u}, a[n], n] // ToRadicals
复制代码
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
您需要登录后才可以回帖 登录 | 欢迎注册

本版积分规则

小黑屋|手机版|数学研发网 ( 苏ICP备07505100号 )

GMT+8, 2021-4-16 19:32 , Processed in 0.077452 second(s), 17 queries .

Powered by Discuz! X3.4

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表