求证这2个不等式

wayne

纯粹出题考验人 意义不大，因为小学生都可以难倒教授。
可否坦诚分享一下您的构造思路。

mathe

表达式描写应该尽量简化，比如第三问中应该用$x_i$替换$1/{x_i}$会看上去更加简洁一些。
同样记$\sigma_1=x_1+..., \sigma_2=x_1x_2+, \sigma_3=x_1x_2x_3+...,\sigma_4=x_1x_2x_3x_4$
以及$\bar{\sigma}_1=\frac{\sigma_1}4$等
第三问转化为$\sigma_4\sigma_1^8\le \frac{2^16}{3^12}\prod_{i=1}^4(\sigma_1-x_i)^3=\frac{2^16}{3^12}(\sigma_2\sigma_1^2-\sigma_3\sigma_1+\sigma_4)^3$
即$3^12\bar{\sigma}_4\bar{\sigma}_1\le(96\bar{\sigma}_2\bar{\sigma_1}^2-16\bar{\sigma}_3\bar{\sigma}_1+\bar{\sigma}_4)^3$
由于根据牛顿不等式$\bar{\sigma}_2\bar{\sigma_1}^2\ge\bar{\sigma}_3\bar{\sigma}_1$
只要能够证明$3^12\bar{\sigma}_4\bar{\sigma}_1^8\le(80\bar{\sigma}_2\bar{\sigma_1}^2+\bar{\sigma}_4)^3$
根据平均不等式$80\bar{\sigma}_2\bar{\sigma_1}^2+\bar{\sigma}_4\ge 81 (\bar{\sigma}_2)^{80/81}(\bar{\sigma_1})^{160/81}(\bar{\sigma}_4)^{1/81}$
所以只要能够证明$(\bar{\sigma}_2)^{80/27}(\bar{\sigma_1})^{160/27}(\bar{\sigma}_4)^{1/27}\ge\bar{\sigma}_4\bar{\sigma}_1^8$
即$\bar{\sigma}_2^80\ge\bar{\sigma}_4^26\bar{\sigma}_1^56$
正好可以表示为$\bar{\sigma}_{26/80\times4+56/80\times1}\ge\bar{\sigma}_4^{26/80}\bar{\sigma}_1^{56/80}$
所以仅用牛顿不等式即可证明，不等式强度相对还是比较弱。当然我们通过牛顿不等式类似可以构造更多的不等式。

hujunhua

第四式令$y_i=1/x_i^2$, $σ_i$为${y_1,...,y_4}$的 `i` 次基本对称多项式，代入可得\[\sum\sqrt{y_i(σ_i-y_i)}≥2^{4/3}\cdot3^{1/2}\cdot σ_1^{1/3}σ_4^{1/6}\]
然后左边应用算术平均值≥几何平均值进行缩放，将多项式化为单一项，结果也化成   $σ_4σ_1^8\le \frac{2^16}{3^12}(σ_2σ_1^2-σ_3σ_1+σ_4)^3$

hujunhua

第二个不等式，左边2⁶=64项，右边不带系数只有16项，再乘以系数1/4就更少了。
系数1/4应该倒过来吧。倒过来后，项数才是相等的，按mathe的记号化为\[6\bar{σ}_1\bar{σ}_2\bar{σ}_3≥5\bar{σ}_3^2+\bar{σ}_1^2\bar{σ}_4\]按牛顿不等式, 右边每一项(不带系数)都比$\bar{σ}_1\bar{σ}_2\bar{σ}_3$小。